Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

La Rioja, junio 19, propuesta B

(2 puntos) Se tienen tres urnas: $A$, $B$ y $C$. La urna $A$ contiene dos bolas blancas y tres negras, la $B$ tres bolas blancas y dos negras, la $C$ cuatro bolas blancas y una negra. Se lanza un dado y se toman dos bolas de una urna: de la urna $A$ si sale un $1$, $2$ ó $3$, de la urna $B$ si sale un $4$ ó $5$ y de la urna $C$ si sale un $6$.

(I) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas.

(II) Suponiendo que las dos bolas extraídas son blancas, calcula la probabilidad de que se hayan extraído de la primera urna.

Sean $A$, $B$ y $C$ los sucesos “elegir la urna A”, “elegir la urna B” y “elegir la urna C”, respectivamente.

Sean $b$ y $n$ los sucesos “bola blanca” y “bola negra”.

El suceso $bb$ indica que se extraen dos bolas blancas.

Por los datos del problema:

$P(A)={\displaystyle \frac{3}{6}}$

$P(B)={\displaystyle \frac{2}{6}}$

$P(C)={\displaystyle \frac{1}{6}}$

La composición de las urnas es:

$A=\{2b,3n\}$

$B=\{3b,2n\}$

$C=\{4b,1n\}$

La probabilidad de obtener dos bolas blancas en cada urna será:

$P(bb\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{20}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$

$P(bb\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$

$P(bb\mathrm{/}C)={\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{12}{20}}={\displaystyle \frac{6}{10}}$

I) Por probabilidad total:

$P(bb)=P(A)\cdot P(bb\mathrm{/}A)+P(B)\cdot P(bb\mathrm{/}B)+P(C)\cdot P(bb\mathrm{/}C)$

$P(bb)={\displaystyle \frac{3}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{15}{60}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

II) Por Bayes:

$P(A\mathrm{/}bb)={\displaystyle \frac{P(A)\cdot P(bb\mathrm{/}A)}{P(bb)}}$

$P(A\mathrm{/}bb)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}}{{\displaystyle \frac{15}{60}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{60}}}{{\displaystyle \frac{15}{60}}}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$