Ejercicio resuelto de Diagrama de árbol · Matemáticas I

Islas Canarias, junio 19, opción B

Una planta ensambladora de circuitos recibe componentes procedentes de tres fabricantes, $A$, $B$ y $C$. El $50\mathrm{\%}$ del total de los componentes se compra al fabricante $A$, mientras que a los fabricantes $B$ y $C$ se le compra un $25\mathrm{\%}$ a cada uno. El porcentaje de componentes defectuosos es de un $5\mathrm{\%}$ para el fabricante $A$, el $10\mathrm{\%}$ para el fabricante $B$ y el $12\mathrm{\%}$ para el fabricante $C$.

a) Construir el diagrama de árbol con las probabilidades asignadas. (0,5 puntos)

b) El Departamento de Control de la Calidad escoge un circuito al azar en el almacén, hallar la probabilidad de que contenga componentes defectuosos. (1 punto)

c) Escogido al azar un circuito que no tiene componentes defectuosos, ¿qué porcentaje de dichos componentes han sido vendidos por el proveedor $B$? (1 punto)

a) Designamos por $D$ el suceso “componente defectuoso” y por $nD$ el suceso “componente no defectuoso”.

Con los datos del problema se obtiene el siguiente diagrama de árbol:



b) Por probabilidad total:

$P(D)=P(A)\cdot P(D\mathrm{/}A)+P(B)\cdot P(D\mathrm{/}B)+P(C)\cdot P(D\mathrm{/}C)$

$P(D)=0,50\cdot 0,05+0,25\cdot 0,10+0,25\cdot 0,12=0,025+0,025+0,03=0,08$

Por tanto:

$P(nD)=1-P(D)=1-0,08=0,92$

c) Por probabilidad condicionada:

$P(B\mathrm{/}nD)={\displaystyle \frac{P(B)\cdot P(nD\mathrm{/}B)}{P(nD)}}={\displaystyle \frac{0,25\cdot 0,90}{0,92}}={\displaystyle \frac{0,225}{0,92}}={\displaystyle \frac{225}{920}}\approx 0,245$

Por tanto, aproximadamente el $24,5\mathrm{\%}$ de los componentes no defectuosos han sido vendidos por el proveedor $B$.