Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Pregunta 5. Según cierto estudio, se sabe que el 80 % de los hogares de un determinado país tiene contratado el acceso a internet y que el 40 % tiene contratado algún canal de televisión de pago. Además se sabe que el 25 % de los hogares disponen de ambos servicios. Si se selecciona un hogar al azar:
a) [1.25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que tenga contratada televisión de pago, pero no internet?
b) [1.25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios?

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga contratada televisión de pago, pero no internet? [1,25 puntos]}$

Se nombran $I$ = «el hogar tiene contratado el acceso a internet» y $T$ = «el hogar tiene contratado algún canal de televisión de pago». Del enunciado:

$P(I)=0{,}80\qquad P(T)=0{,}40\qquad P(I\cap T)=0{,}25$

Los hogares con televisión de pago se reparten en dos grupos disjuntos: los que además tienen internet y los que no. Por tanto basta restar:

$P(T\cap\overline{I})=P(T)-P(I\cap T)=0{,}40-0{,}25=0{,}15$

Un $\textbf{15\ \%}$ de los hogares tiene televisión de pago pero no internet.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? [1,25 puntos]}$

No tener ninguno de los dos servicios es el suceso contrario de tener al menos uno, es decir, el contrario de la unión. Se calcula primero la unión con la fórmula de la probabilidad de la unión, que descuenta la intersección para no contarla dos veces:

$P(I\cup T)=P(I)+P(T)-P(I\cap T)=0{,}80+0{,}40-0{,}25=0{,}95$

y ahora el contrario:

$P(\overline{I}\cap\overline{T})=P(\overline{I\cup T})=1-P(I\cup T)=1-0{,}95=0{,}05$

Solo un $\textbf{5\ \%}$ de los hogares no tiene contratado ninguno de los dos servicios.

Con estos dos resultados ya se conoce el reparto completo de los hogares, que se puede resumir en un diagrama de árbol. Las probabilidades de la segunda generación son condicionadas: por ejemplo, entre los que tienen internet, la proporción de los que además tienen televisión de pago es $P(T|I)=\dfrac{0{,}25}{0{,}80}=0{,}3125$, y entre los que no tienen internet es $P(T|\overline{I})=\dfrac{0{,}15}{0{,}20}=0{,}75$.



Multiplicando a lo largo de cada rama se obtienen los cuatro casos posibles, que sirven de comprobación porque han de sumar 1:

$0{,}80\cdot0{,}3125=0{,}25\qquad 0{,}80\cdot0{,}6875=0{,}55\qquad 0{,}20\cdot0{,}75=0{,}15\qquad 0{,}20\cdot0{,}25=0{,}05$

$0{,}25+0{,}55+0{,}15+0{,}05=1$

Las dos ramas pedidas son la tercera, $0{,}15$, y la cuarta, $0{,}05$, que coinciden con lo calculado en los apartados anteriores.