Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B5
Tras la realización de un estudio, se ha llegado a la conclusión de que el tiempo medio que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar es de 45 segundos, con una desviación típica de 7,3 segundos, ajustándose los datos a una distribución normal.

(a) (1 p) Calcula el porcentaje de adultos que aguanta más de 57 segundos.
(b) (1,5 p) Calcula el porcentaje de adultos que aguanta entre 39 y 57 segundos.

Llamamos $X$ al tiempo, en segundos, que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar. Según el enunciado se distribuye de forma normal:

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(45;\;7{,}3)$

$\textbf{(a) (1 p) Calcula el porcentaje de adultos que aguanta más de 57 segundos.}$

Tipificamos para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-45}{7{,}3}\sim N(0,1)$

$P(X>57)=P\left(Z>\dfrac{57-45}{7{,}3}\right)=P(Z>1{,}64)$

La tabla da la probabilidad acumulada, así que pasamos al suceso contrario:

$P(Z>1{,}64)=1-P(Z\leq1{,}64)=1-0{,}9495=0{,}0505$

El $5{,}05\%$ de los adultos aguanta más de $57$ segundos.

$\textbf{(b) (1,5 p) Calcula el porcentaje de adultos que aguanta entre 39 y 57 segundos.}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo.

$P(39<X<57)=P\left(\dfrac{39-45}{7{,}3}<Z<\dfrac{57-45}{7{,}3}\right)=P(-0{,}82<Z<1{,}64)$

$=P(Z<1{,}64)-P(Z<-0{,}82)$

El extremo negativo no está en la tabla, así que se lleva al semieje positivo por simetría:

$P(Z<-0{,}82)=1-P(Z<0{,}82)=1-0{,}7939=0{,}2061$

$P(39<X<57)=0{,}9495-0{,}2061=0{,}7434$

El $74{,}34\%$ de los adultos aguanta entre $39$ y $57$ segundos.