Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B4
Se consideran las curvas de ecuaciones $y=x^2$ e $y=\dfrac{x^2}{3}$ y la recta de ecuación $y=x$.

(a) (1,25 p) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas.
(b) (1,25 p) Calcula el área de ese recinto.

$\textbf{(a) (1,25 p) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas.}$

Las dos primeras son parábolas con las ramas hacia arriba y el vértice en el origen; la de coeficiente $\frac13$ es la más abierta. La tercera es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Calculamos los cortes dos a dos.

$x^2=x\Rightarrow x(x-1)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}$

$\dfrac{x^2}{3}=x\Rightarrow x(x-3)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\x=3\end{cases}$

$x^2=\dfrac{x^2}{3}\Rightarrow \dfrac{2x^2}{3}=0\Rightarrow x=0$

Los tres cortes en el primer cuadrante son, pues, $(0,0)$, $(1,1)$ y $(3,3)$. Evaluando en puntos intermedios se ve cuál va por encima en cada tramo:

$\text{Si }x=\dfrac12:\quad \dfrac14\ >\ \dfrac{1}{12};\qquad \text{Si }x=2:\quad 2\ >\ \dfrac43$

El recinto está limitado por abajo por la parábola $y=\dfrac{x^2}{3}$ en todo su ancho, y por arriba por la parábola $y=x^2$ entre $x=0$ y $x=1$, y por la recta $y=x$ entre $x=1$ y $x=3$.



$\textbf{(b) (1,25 p) Calcula el área de ese recinto.}$

Como la curva que hace de borde superior cambia en $x=1$, el área se calcula en dos trozos y se aplica en cada uno la regla de Barrow.

$\mathcal{A}=\int_0^1\left(x^2-\dfrac{x^2}{3}\right)dx+\int_1^3\left(x-\dfrac{x^2}{3}\right)dx$

Simplificamos el primer integrando:

$x^2-\dfrac{x^2}{3}=\dfrac{2x^2}{3}$

$\int_0^1\dfrac{2x^2}{3}\,dx=\left[\dfrac{2x^3}{9}\right]_0^1=\dfrac29$

Y el segundo:

$\int_1^3\left(x-\dfrac{x^2}{3}\right)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{9}\right]_1^3$

$=\left(\dfrac92-3\right)-\left(\dfrac12-\dfrac19\right)=\dfrac32-\dfrac{7}{18}=\dfrac{10}{9}$

Sumando los dos trozos:

$\mathcal{A}=\dfrac29+\dfrac{10}{9}=\dfrac{12}{9}=\dfrac43$

El área del recinto es de $\dfrac43$ unidades de área.