Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Ejercicio A4
Calcula las dos integrales siguientes:

(a) (1,25 p) $\int\dfrac{2-3x+x^3}{x^2+2x+1}\,dx$,
(b) (1,25 p) $\int\dfrac{2-3x}{x^2+2x+1}\,dx$.

$\textbf{(a) (1,25 p) Calcula } \boldsymbol{\int \dfrac{2-3x+x^3}{x^2+2x+1}\,dx}\textbf{.}$

El grado del numerador es mayor que el del denominador, así que lo primero es efectuar la división de polinomios.

$x^3-3x+2\ :\ x^2+2x+1\Rightarrow \text{cociente } x-2,\ \text{resto } 4$

$\dfrac{x^3-3x+2}{x^2+2x+1}=x-2+\dfrac{4}{x^2+2x+1}$

El denominador que queda es un cuadrado perfecto:

$x^2+2x+1=(x+1)^2$

La integral se descompone así en tres inmediatas:

$\int\left(x-2+\dfrac{4}{(x+1)^2}\right)dx=\int x\,dx-\int2\,dx+4\int(x+1)^{-2}\,dx$

$=\dfrac{x^2}{2}-2x-\dfrac{4}{x+1}+C$

$\textbf{(b) (1,25 p) Calcula } \boldsymbol{\int \dfrac{2-3x}{x^2+2x+1}\,dx}\textbf{.}$

Aquí el numerador ya es de grado menor, y el denominador vuelve a ser $(x+1)^2$. Hacemos el cambio de variable $u=x+1$, con lo que $x=u-1$ y $du=dx$:

$2-3x=2-3(u-1)=5-3u$

$\int\dfrac{5-3u}{u^2}\,du=\int\left(\dfrac{5}{u^2}-\dfrac{3}{u}\right)du$

Las dos integrales que quedan son inmediatas:

$=-\dfrac{5}{u}-3\ln|u|+C$

Deshaciendo el cambio:

$\int\dfrac{2-3x}{x^2+2x+1}\,dx=-\dfrac{5}{x+1}-3\ln|x+1|+C$