Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B3
Se sabe que la función $f(x)=Ax^4+Bx^2+C$ tiene un extremo relativo cuando $x=1/2$ y la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x=1$ es $y=6x-2$.

(a) (1,5 p) Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$.
(b) (1 p) Encuentra todos los extremos relativos de la función $f$ y razona si son máximos o mínimos.

$\textbf{(a) (1,5 p) Encuentra los valores de los parámetros } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{.}$

El enunciado da tres informaciones, y cada una se traduce en una ecuación. Empezamos por la derivada, que es la que recoge las dos primeras.

$f(x)=Ax^4+Bx^2+C\Rightarrow f'(x)=4Ax^3+2Bx$

i) Que haya un extremo relativo en $x=\dfrac12$ obliga a que la derivada se anule ahí:

$f'\left(\dfrac12\right)=0\Rightarrow 4A\cdot\dfrac18+2B\cdot\dfrac12=0\Rightarrow \dfrac{A}{2}+B=0$

ii) Que la recta tangente en $x=1$ sea $y=6x-2$ obliga a que la derivada valga la pendiente de esa recta:

$f'(1)=6\Rightarrow 4A+2B=6$

Sustituyendo $B=-\dfrac{A}{2}$ de la primera condición:

$4A+2\left(-\dfrac{A}{2}\right)=6\Rightarrow 3A=6\Rightarrow A=2,\quad B=-1$

iii) Que la recta sea tangente significa además que toca a la gráfica en ese punto, de modo que la función y la recta valen lo mismo en $x=1$:

$f(1)=6\cdot1-2=4\Rightarrow A+B+C=4\Rightarrow 2-1+C=4\Rightarrow C=3$

Los parámetros son $A=2$, $B=-1$ y $C=3$, con lo que la función es:

$f(x)=2x^4-x^2+3$

$\textbf{(b) (1 p) Encuentra todos los extremos relativos de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ y razona si son máximos o mínimos.}$

Los extremos relativos están entre los puntos que anulan la derivada primera, así que la factorizamos.

$f'(x)=8x^3-2x=2x\left(4x^2-1\right)=2x(2x-1)(2x+1)$

$f'(x)=0\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac12\\ x=0\\ x=\frac12\end{cases}$

Para decidir el carácter de cada uno usamos el signo de la segunda derivada:

$f''(x)=24x^2-2$

$f''(0)=-2<0\Rightarrow \text{máximo relativo}$

$f''\left(\pm\dfrac12\right)=24\cdot\dfrac14-2=4>0\Rightarrow \text{mínimos relativos}$

Calculamos las ordenadas correspondientes:

$f(0)=3,\qquad f\left(\pm\dfrac12\right)=2\cdot\dfrac{1}{16}-\dfrac14+3=\dfrac{23}{8}$

La función tiene un máximo relativo en $(0,3)$ y dos mínimos relativos en $\left(-\dfrac12,\dfrac{23}{8}\right)$ y $\left(\dfrac12,\dfrac{23}{8}\right)$, simétricos respecto del eje de ordenadas por ser la función par.