Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Ejercicio A3
Sea $f(x)=\dfrac{x}{x^2-2x+1}$.

(a) (0,5 p) Encuentra las asíntotas de $f$.
(b) (1 p) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.
(c) (0,5 p) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=0$.
(d) (0,5 p) Haz una representación aproximada de la gráfica de la función $f$.

$\textbf{(a) (0,5 p) Encuentra las asíntotas de } \boldsymbol{f}\textbf{.}$

Factorizamos el denominador, que es un cuadrado perfecto, para localizar los puntos que quedan fuera del dominio.

$x^2-2x+1=(x-1)^2\Rightarrow f(x)=\dfrac{x}{(x-1)^2}$

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{1\}$

En $x=1$ el numerador vale $1\neq0$, luego hay asíntota vertical. Como el denominador es un cuadrado, es positivo a ambos lados, y los dos límites laterales valen lo mismo:

$\lim_{x\to1^-}\dfrac{x}{(x-1)^2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}\dfrac{x}{(x-1)^2}=+\infty$

El grado del denominador supera al del numerador, de modo que el límite en el infinito es cero:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^2-2x+1}=0$

Hay asíntota vertical $x=1$ y asíntota horizontal $y=0$; al existir la horizontal, no hay oblicua.

$\textbf{(b) (1 p) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{f}\textbf{.}$

Derivamos por la regla del cociente y simplificamos sacando factor común $(x-1)$:

$f'(x)=\dfrac{(x-1)^2-x\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}=\dfrac{(x-1)\left[(x-1)-2x\right]}{(x-1)^4}$

$=\dfrac{-x-1}{(x-1)^3}$

$f'(x)=0\Rightarrow -x-1=0\Rightarrow x=-1$

Ese punto y el que queda fuera del dominio dividen la recta real en tres intervalos. Se hace un estudio de signos:

$\begin{array}{c|ccc} & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - \\ f(x) & \searrow & \nearrow & \searrow \end{array}$

$\begin{cases}f'(-2)=\dfrac{1}{-27}<0\\[2pt] f'(0)=\dfrac{-1}{-1}=1>0\\[2pt] f'(2)=\dfrac{-3}{1}=-3<0\end{cases}$

La función es creciente en $(-1,1)$ y decreciente en $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$. En $x=-1$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo:

$f(-1)=\dfrac{-1}{(-2)^2}=-\dfrac14$

$\textbf{(c) (0,5 p) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=0}\textbf{.}$

La tangente pasa por el punto de la gráfica y su pendiente es el valor de la derivada:

$f(0)=\dfrac{0}{1}=0,\qquad m=f'(0)=\dfrac{-1}{-1}=1$

$y-0=1\,(x-0)\Rightarrow y=x$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=0$ es $y=x$.

$\textbf{(d) (0,5 p) Haz una representación aproximada de la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{.}$

Reuniendo todo lo anterior —la asíntota vertical $x=1$ con las dos ramas hacia $+\infty$, la asíntota horizontal $y=0$, el mínimo relativo en $\left(-1,-\frac14\right)$ y el paso por el origen con pendiente $1$— la gráfica queda así: