Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Ejercicio A2
Se consideran las siguientes rectas:
$r\equiv\begin{cases} x=2\lambda,\\ y=-1+4\lambda,\\ z=2-\lambda;\end{cases}\qquad s\equiv\begin{cases} 2x-y=1,\\ z=3.\end{cases}$

(a) (1 p) Calcula la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.
(b) (0,75 p) Calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.
(c) (0,75 p) Dado el punto $P(-8,-8,0)$, calcula el punto $Q$ de la recta $r$ de modo que el vector $\overrightarrow{PQ}$ sea perpendicular a la recta $r$.

$\textbf{(a) (1 p) Calcula la posición relativa de las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{.}$

De la recta $r$, que viene en paramétricas, leemos directamente un punto y su vector director. La recta $s$ está dada como intersección de dos planos, así que su director se obtiene con el producto vectorial de los normales.

$P_r(0,-1,2),\qquad \vec v_r=(2,4,-1)$

$\vec v_s=(2,-1,0)\times(0,0,1)=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=(-1,-2,0)$

Para tener un punto de $s$ basta tomar $x=0$ en sus ecuaciones: $-y=1$ y $z=3$.

$P_s(0,-1,3)$

Los directores no son proporcionales, ya que $\dfrac{2}{-1}\neq\dfrac{4}{-2}\cdot$ no se cumple para la tercera componente ($-1\neq0$), luego las rectas o se cortan o se cruzan. Para decidirlo estudiamos si los tres vectores son coplanarios:

$\overrightarrow{P_rP_s}=(0,-1,3)-(0,-1,2)=(0,0,1)$

$\begin{vmatrix}2&4&-1\\-1&-2&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}2&4\\-1&-2\end{vmatrix}=1\cdot(-4+4)=0$

Al anularse el producto mixto los tres vectores son coplanarios y, no siendo paralelas, las rectas se cortan.

Buscamos el punto de corte imponiendo que un punto de $r$ verifique las ecuaciones de $s$:

$z=3\Rightarrow 2-\lambda=3\Rightarrow \lambda=-1$

$(x,y,z)=(-2,-5,3)$

Comprobamos en la otra ecuación de $s$: $2(-2)-(-5)=-4+5=1$.

Las rectas $r$ y $s$ se cortan en el punto $(-2,-5,3)$.

$\textbf{(b) (0,75 p) Calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.}$

Como las rectas se cortan, determinan un plano. Su vector normal es perpendicular a los dos directores, luego se obtiene con el producto vectorial.

$\vec n_\pi=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&4&-1\\-1&-2&0\end{vmatrix}=(-2,1,0)$

$\pi:-2x+y+D=0$

Imponemos que pase por $P_r(0,-1,2)$:

$-2\cdot0+(-1)+D=0\Rightarrow D=1$

$\pi:-2x+y+1=0\Rightarrow \pi\equiv 2x-y-1=0$

Comprobamos que también contiene a $P_s(0,-1,3)$: $0+1-1=0$.

El plano que contiene a ambas rectas es $2x-y-1=0$.



$\textbf{(c) (0,75 p) Dado el punto } \boldsymbol{P(-8,-8,0)}\textbf{, calcula el punto } \boldsymbol{Q}\textbf{ de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ de modo que el vector } \boldsymbol{\overrightarrow{PQ}}\textbf{ sea perpendicular a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{.}$

El punto $Q$ está en la recta, así que es de la forma que dan sus ecuaciones paramétricas. La condición de perpendicularidad se traduce en que el producto escalar con el director sea nulo.

$Q(2\lambda,\,-1+4\lambda,\,2-\lambda)$

$\overrightarrow{PQ}=(2\lambda+8,\;7+4\lambda,\;2-\lambda)$

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r=0$

$2(2\lambda+8)+4(7+4\lambda)-(2-\lambda)=0$

$4\lambda+16+28+16\lambda-2+\lambda=0\Rightarrow 21\lambda+42=0\Rightarrow \lambda=-2$

$Q(-4,-9,4)$

El punto buscado es $Q(-4,-9,4)$, que es el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a la recta $r$.