Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Ejercicio A1
(2 p) Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro $\alpha$:
$\begin{cases} \alpha x+y+z=2,\\ x+2y+(\alpha-1)z=-1,\\ 2x+y+(\alpha-2)z=1.\end{cases}$

(0,5 p) Resuelve el sistema, si es posible, en el caso $\alpha=1$.

$\textbf{(2 p) Discute la existencia de solución del sistema en función de los valores del parámetro } \boldsymbol{\alpha}\textbf{.}$

La discusión se hace con el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix}\alpha&1&1\\1&2&\alpha-1\\2&1&\alpha-2\end{pmatrix}$

Desarrollando por la primera fila:

$|A|=\alpha\left[2(\alpha-2)-(\alpha-1)\right]-\left[(\alpha-2)-2(\alpha-1)\right]+\left[1-4\right]$

$=\alpha(\alpha-3)-(-\alpha)-3=\alpha^2-3\alpha+\alpha-3=\alpha^2-2\alpha-3$

$|A|=(\alpha-3)(\alpha+1)$

$|A|=0\Rightarrow\begin{cases}\alpha=3\\ \alpha=-1\end{cases}$

Distinguimos los tres casos.

i) Si $\alpha\neq3$ y $\alpha\neq-1$, el determinante no se anula, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3$ y el sistema es compatible determinado.

ii) Si $\alpha=3$, la matriz ampliada es:

$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}3&1&1&2\\1&2&2&-1\\2&1&1&1\end{array}\right)$

El menor $\begin{vmatrix}3&1\\1&2\end{vmatrix}=5\neq0$ da $\text{rg}(A)\geq2$, y al orlarlo con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}3&1&2\\1&2&-1\\2&1&1\end{vmatrix}=3(2+1)-1(1+2)+2(1-4)=9-3-6=0$

Luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado.

iii) Si $\alpha=-1$:

$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}-1&1&1&2\\1&2&-2&-1\\2&1&-3&1\end{array}\right)$

$\begin{vmatrix}-1&1&2\\1&2&-1\\2&1&1\end{vmatrix}=-1(2+1)-1(1+2)+2(1-4)=-3-3-6=-12\neq0$

Luego $\text{rg}(A)=2$ pero $\text{rg}(A^*)=3$ y el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $\alpha\neq3$ y $\alpha\neq-1$; compatible indeterminado si $\alpha=3$; e incompatible si $\alpha=-1$.

$\textbf{(0,5 p) Resuelve el sistema, si es posible, en el caso } \boldsymbol{\alpha=1}\textbf{.}$

Para $\alpha=1$ estamos en el primer caso, luego el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\begin{cases}x+y+z=2\\ x+2y=-1\\ 2x+y-z=1\end{cases}$

$|A|=(1-3)(1+1)=-4\neq0$

Sumando la primera y la tercera ecuación se elimina la $z$:

$3x+2y=3$

Restando de ella la segunda ecuación:

$(3x+2y)-(x+2y)=3-(-1)\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$

$2+2y=-1\Rightarrow y=-\dfrac32$

$z=2-x-y=2-2+\dfrac32=\dfrac32$

La solución para $\alpha=1$ es $x=2$, $y=-\dfrac32$, $z=\dfrac32$.