Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Ejercicio A5
Los resultados publicados en diciembre de 2019 sobre la aplicación de la vacuna M72 en Sudáfrica, Kenia y Zambia revelaron que la probabilidad de quedar protegido contra la tuberculosis pulmonar activa es de 0,54. Se aplica la vacuna a un grupo de 3289 adultos.

(a) (0,5 p) Identifica la distribución correspondiente al número de adultos que quedan protegidos, y determina sus parámetros.
(b) (1 p) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en 1800 adultos.
(c) (1 p) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en menos de 1700 adultos.

$\textbf{(a) (0,5 p) Identifica la distribución correspondiente al número de adultos que quedan protegidos, y determina sus parámetros.}$

A cada adulto vacunado le corresponde un experimento con dos resultados posibles —quedar protegido o no—, con la misma probabilidad en todos los casos e independientes entre sí. La variable $X$ que cuenta cuántos quedan protegidos es, por tanto, discreta y sigue una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(3289;\;0{,}54)$

Manejar esa binomial directamente es inviable, pero se puede aproximar por una normal siempre que $np$ y $nq$ sean suficientemente grandes. Lo comprobamos:

$np=3289\cdot0{,}54=1776{,}06\geq5$

$nq=3289\cdot0{,}46=1512{,}94\geq5$

Se cumplen las dos condiciones, así que calculamos los parámetros de la normal:

$\mu=np=1776{,}06$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{3289\cdot0{,}54\cdot0{,}46}=\sqrt{817{,}0}=28{,}58$

$X\approx X'\sim N(1776{,}06;\;28{,}58)$

$\textbf{(b) (1 p) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en 1800 adultos.}$

Se pide la probabilidad de un valor concreto de una variable discreta. Al pasar a la normal, que es continua, un punto aislado tendría probabilidad nula, así que se aplica la corrección de continuidad de Yates: el valor $1800$ se sustituye por el intervalo de amplitud uno centrado en él.

$P(X=1800)\approx P(1799{,}5\leq X'\leq1800{,}5)$

Tipificamos los dos extremos:

$=P\left(\dfrac{1799{,}5-1776{,}06}{28{,}58}\leq Z\leq\dfrac{1800{,}5-1776{,}06}{28{,}58}\right)$

$=P(0{,}82\leq Z\leq0{,}86)=\Phi(0{,}86)-\Phi(0{,}82)$

$=0{,}8051-0{,}7939=0{,}0112$

La probabilidad de que la vacuna resulte efectiva en exactamente $1800$ adultos es $0{,}0112$, es decir, un $1{,}12\%$.

$\textbf{(c) (1 p) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en menos de 1700 adultos.}$

Ahora el suceso es «menos de $1700$», que en la variable discreta significa $1699$ o menos. Con la corrección de continuidad, el límite continuo se sitúa medio punto por encima:

$P(X<1700)\approx P(X'\leq1699{,}5)$

$=P\left(Z\leq\dfrac{1699{,}5-1776{,}06}{28{,}58}\right)=P(Z\leq-2{,}68)$

La tabla solo recoge valores positivos, así que usamos la simetría de la campana:

$P(Z\leq-2{,}68)=1-P(Z\leq2{,}68)=1-0{,}9963=0{,}0037$

La probabilidad de que la vacuna resulte efectiva en menos de $1700$ adultos es $0{,}0037$, es decir, un $0{,}37\%$.