Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B4
Se consideran las curvas de ecuaciones $y=\dfrac{x^2}{3}$, $y=x^2+2x$ e $y=3$.

(a) (1,25 p) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por dichas curvas.
(b) (1,25 p) Calcula el área de ese recinto.

$\textbf{(a) (1,25 p) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por dichas curvas.}$

Las dos primeras son parábolas con las ramas hacia arriba y la tercera es una recta horizontal. Calculamos los cortes dos a dos, quedándonos con los que están en el primer cuadrante.

$\dfrac{x^2}{3}=x^2+2x\Rightarrow x^2=3x^2+6x\Rightarrow 2x^2+6x=0$

$2x(x+3)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\x=-3\end{cases}$

$x^2+2x=3\Rightarrow x^2+2x-3=0\Rightarrow(x+3)(x-1)=0\Rightarrow\begin{cases}x=-3\\x=1\end{cases}$

$\dfrac{x^2}{3}=3\Rightarrow x^2=9\Rightarrow\begin{cases}x=-3\\x=3\end{cases}$

Se descartan en los tres casos las soluciones negativas por no pertenecer al primer cuadrante. Quedan, pues, los vértices $(0,0)$, $(1,3)$ y $(3,3)$. Evaluando en puntos intermedios se ve cuál va por encima en cada tramo:

$\text{Si }x=\dfrac12:\quad \dfrac14+1=\dfrac54\ >\ \dfrac{1}{12};\qquad \text{Si }x=2:\quad 3\ >\ \dfrac43$

El recinto está limitado por abajo por la parábola $y=\dfrac{x^2}{3}$ en todo su ancho, y por arriba por la parábola $y=x^2+2x$ entre $x=0$ y $x=1$, y por la recta $y=3$ entre $x=1$ y $x=3$.



$\textbf{(b) (1,25 p) Calcula el área de ese recinto.}$

Como la curva que hace de borde superior cambia en $x=1$, el área se calcula en dos trozos y se aplica en cada uno la regla de Barrow.

$\mathcal{A}=\int_0^1\left(x^2+2x-\dfrac{x^2}{3}\right)dx+\int_1^3\left(3-\dfrac{x^2}{3}\right)dx$

Simplificamos el primer integrando:

$x^2+2x-\dfrac{x^2}{3}=\dfrac{2x^2}{3}+2x$

$\int_0^1\left(\dfrac{2x^2}{3}+2x\right)dx=\left[\dfrac{2x^3}{9}+x^2\right]_0^1=\dfrac29+1=\dfrac{11}{9}$

Y el segundo:

$\int_1^3\left(3-\dfrac{x^2}{3}\right)dx=\left[3x-\dfrac{x^3}{9}\right]_1^3=(9-3)-\left(3-\dfrac19\right)$

$=6-\dfrac{26}{9}=\dfrac{28}{9}$

Sumando los dos trozos:

$\mathcal{A}=\dfrac{11}{9}+\dfrac{28}{9}=\dfrac{39}{9}=\dfrac{13}{3}$

El área del recinto es de $\dfrac{13}{3}$ unidades de área.