Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

A.2 [hasta 2,5 puntos]
Sea $f(x)$ una función polinómica de tercer grado, en la que el coeficiente del término de grado tres vale 1.

a) [1 punto] Encuentra los valores de los otros coeficientes de la función sabiendo que pasa por el punto $(0,0)$ y que tiene un extremo relativo en el punto $(2,-4)$.
b) [0,75 puntos] Determina los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función $f(x)=x^3-3x^2$.
c) [0,75 puntos] Calcula el área de la región finita delimitada por el gráfico de la función $f(x)=x^3-3x^2$ y el eje de abscisas.

$\textbf{a) [1 punto] Encuentra los valores de los otros coeficientes de la función sabiendo que pasa por el punto } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{ y que tiene un extremo relativo en el punto } \boldsymbol{(2,-4)}\textbf{.}$

Se escribe la función polinómica general de tercer grado con el coeficiente principal ya fijado por el enunciado, y se calcula su derivada.

$f(x)=x^3+bx^2+cx+d$

$f'(x)=3x^2+2bx+c$

Que la gráfica pase por el origen da directamente el término independiente.

$f(0)=d=0\ \Rightarrow\ d=0$

Que tenga un extremo relativo en $(2,-4)$ impone dos condiciones: la curva pasa por ese punto y la derivada se anula en él.

$f(2)=8+4b+2c=-4\ \Rightarrow\ 4b+2c=-12\ \Rightarrow\ 2b+c=-6$

$f'(2)=12+4b+c=0\ \Rightarrow\ 4b+c=-12$

Se restan las dos ecuaciones para eliminar $c$:

$(4b+c)-(2b+c)=-12-(-6)\ \Rightarrow\ 2b=-6\ \Rightarrow\ b=-3$

$c=-12-4(-3)=-12+12=0$

Los coeficientes son $b=-3$, $c=0$ y $d=0$, de modo que la función es $f(x)=x^3-3x^2$, la misma que se estudia en los apartados siguientes.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Determina los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función } \boldsymbol{f(x)=x^3-3x^2}\textbf{.}$

Los candidatos a extremo son los que anulan la primera derivada, y el criterio de la segunda decide de qué tipo es cada uno.

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases} x=0 \\ x=2 \end{cases}$

$f''(x)=6x-6$

$f''(0)=-6<0\ \Rightarrow\ \text{máximo relativo}\qquad ;\qquad f''(2)=6>0\ \Rightarrow\ \text{mínimo relativo}$

$f(0)=0\qquad ;\qquad f(2)=8-12=-4$



Los candidatos a punto de inflexión son los que anulan la segunda derivada, y se confirman comprobando que la tercera no se anula.

$f''(x)=0\ \Rightarrow\ 6x-6=0\ \Rightarrow\ x=1$

$f'''(x)=6\neq 0\ \Rightarrow\ x=1\ \text{es punto de inflexión}$

$f(1)=1-3=-2$

La función tiene un máximo relativo en $(0,0)$, un mínimo relativo en $(2,-4)$ —el que daba el enunciado del apartado anterior— y un punto de inflexión en $(1,-2)$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Calcula el área de la región finita delimitada por el gráfico de la función } \boldsymbol{f(x)=x^3-3x^2}\textbf{ y el eje de abscisas.}$

Los límites de integración son los cortes de la curva con el eje de abscisas, que se obtienen sacando factor común.

$x^3-3x^2=0\ \Rightarrow\ x^2(x-3)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases} x=0\ \text{(doble)} \\ x=3 \end{cases}$

La única región finita que encierran la curva y el eje es la comprendida entre $x=0$ y $x=3$. En ese intervalo la función es negativa, ya que $x^2>0$ y $x-3<0$, así que la integral saldrá negativa y hay que tomar su valor absoluto.

$A=\left|\int_{0}^{3}\left(x^3-3x^2\right)dx\right|$

Por la regla de Barrow:

$\int_{0}^{3}\left(x^3-3x^2\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-x^3\right]_{0}^{3}=\left(\dfrac{81}{4}-27\right)-0=\dfrac{81-108}{4}=-\dfrac{27}{4}$

$A=\left|-\dfrac{27}{4}\right|=\dfrac{27}{4}$

El área de la región finita delimitada por la curva y el eje de abscisas es $\frac{27}{4}=6{,}75$ unidades de área.