Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

A.2 [hasta 2,5 puntos]

a) [0,75 puntos] Sea la función $f(x)=a\,x^3+3x^2-5x+b$. Halla los valores de los coeficientes $a$ y $b$ sabiendo que la función pasa por el punto $(1,-3)$ y tiene un punto de inflexión en $x=-1$.
b) [1 punto] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de la función $g(x)=x^3-3x^2+7$.
c) [0,75 puntos] Calcula el área de la región delimitada por la función $g(x)$, el eje de abcisas OX y las rectas $x=1$, $x=2$; y haz su representación gráfica.

$\textbf{a) [0,75 puntos] Sea la función } \boldsymbol{f(x)=a\,x^3+3x^2-5x+b}\textbf{. Halla los valores de los coeficientes } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ sabiendo que la función pasa por el punto } \boldsymbol{(1,-3)}\textbf{ y tiene un punto de inflexión en } \boldsymbol{x=-1}\textbf{.}$

Cada condición del enunciado da una ecuación. La del punto de inflexión se traduce con la segunda derivada, así que se calculan las dos primeras.

$f'(x)=3a\,x^2+6x-5\qquad ;\qquad f''(x)=6a\,x+6$

La condición del punto de inflexión solo depende de $a$, de modo que conviene empezar por ella.

$f''(-1)=0\ \Rightarrow\ -6a+6=0\ \Rightarrow\ a=1$

Que la gráfica pase por $(1,-3)$ da la segunda ecuación.

$f(1)=a+3-5+b=-3\ \Rightarrow\ a+b=-1$

$1+b=-1\ \Rightarrow\ b=-2$

Los coeficientes son $a=1$ y $b=-2$, con lo que la función es $f(x)=x^3+3x^2-5x-2$.

$\textbf{b) [1 punto] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de la función } \boldsymbol{g(x)=x^3-3x^2+7}\textbf{.}$

Se buscan los puntos que anulan la primera derivada y se estudia su signo en los tres tramos que determinan.

$g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

$g'(x)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases} x=0 \\ x=2 \end{cases}$

$\begin{cases} g'(-1)=3+6=9>0 \\ g'(1)=3-6=-3<0 \\ g'(3)=27-18=9>0 \end{cases}$

$\begin{array}{c|ccc} & (-\infty,0) & (0,2) & (2,+\infty) \\ \hline g'(x) & + & - & + \\ g(x) & \nearrow & \searrow & \nearrow \end{array}$

La derivada pasa de positiva a negativa en $x=0$ y de negativa a positiva en $x=2$.

$g(0)=7\qquad ;\qquad g(2)=8-12+7=3$

La función crece en $(-\infty,0)$ y en $(2,+\infty)$, y decrece en $(0,2)$. Tiene un máximo relativo en $(0,7)$ y un mínimo relativo en $(2,3)$.



$\textbf{c) [0,75 puntos] Calcula el área de la región delimitada por la función } \boldsymbol{g(x)}\textbf{, el eje de abcisas OX y las rectas } \boldsymbol{x=1}\textbf{, } \boldsymbol{x=2}\textbf{; y haz su representación gráfica.}$

Los límites de integración los da el propio enunciado. Antes de integrar hay que asegurarse de que la función no cambia de signo dentro del intervalo, porque si lo hiciera habría que partir la integral.

$g(1)=1-3+7=5>0\qquad ;\qquad g(2)=3>0$

Por el apartado anterior, en $[1,2]$ la función es decreciente y su valor más bajo es $g(2)=3>0$, de manera que se mantiene por encima del eje en todo el intervalo y el área es directamente la integral definida.

$A=\int_{1}^{2}\left(x^3-3x^2+7\right)dx$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=\left[\dfrac{x^4}{4}-x^3+7x\right]_{1}^{2}=\left(\dfrac{16}{4}-8+14\right)-\left(\dfrac{1}{4}-1+7\right)$

$A=10-\dfrac{25}{4}=\dfrac{40-25}{4}=\dfrac{15}{4}$

El área de la región delimitada es $\frac{15}{4}=3{,}75$ unidades de área.