Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

A.2.- Un protón se desplaza con una velocidad $\vec{v}=5\,\vec{\imath}\ \mathrm{ms^{-1}}$ en el seno de un campo eléctrico definido por la expresión $\vec{E}=-100\,\vec{\jmath}\ \mathrm{Vm^{-1}}$. Determina:

a) El campo magnético necesario, contenido en el plano YZ, para mantener al protón siguiendo un movimiento rectilíneo y uniforme.
b) El radio de giro que tendría dicho protón en una región donde solamente existiera el campo magnético del apartado anterior.
c) Calcula el módulo de la aceleración del protón, y dibuja los vectores velocidad, aceleración y fuerza magnética en un punto de la trayectoria.

Datos:
Valor absoluto de la carga del protón $=1{,}6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$
Masa del protón, $m_p=1{,}67\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$

$\textbf{a) El campo magnético necesario, contenido en el plano YZ, para mantener al protón siguiendo un movimiento rectilíneo y uniforme.}$

Si el movimiento es rectilíneo y uniforme, la aceleración es nula y, por la segunda ley de Newton, también lo es la resultante de las fuerzas. Sobre el protón actúan la fuerza eléctrica y la magnética, que deben anularse mutuamente:

$\vec{F}_E+\vec{F}_B=\vec{0}\Rightarrow q\,\vec{E}+q\left(\vec{v}\times\vec{B}\right)=\vec{0}$

$\vec{v}\times\vec{B}=-\vec{E}=100\,\vec{\jmath}$

Como el campo magnético está contenido en el plano $YZ$, su componente $x$ es nula, $\vec{B}=B_y\,\vec{\jmath}+B_z\,\vec{k}$. Se desarrolla el producto vectorial:

$\vec{v}\times\vec{B}=\begin{vmatrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ 5&0&0\\ 0&B_y&B_z\end{vmatrix}=-5B_z\,\vec{\jmath}+5B_y\,\vec{k}$

Igualando componente a componente:

$\begin{cases}-5B_z=100\Rightarrow B_z=-20 \\ 5B_y=0\Rightarrow B_y=0\end{cases}$

$\vec{B}=-20\,\vec{k}\ \text{T}$

El campo magnético necesario es de $20\ \text{T}$ dirigido en el sentido negativo del eje $Z$. Este dispositivo, en el que los campos eléctrico y magnético cruzados dejan pasar sin desviarse solo a las partículas de una velocidad determinada, se llama selector de velocidades.

$\textbf{b) El radio de giro que tendría dicho protón en una región donde solamente existiera el campo magnético del apartado anterior.}$

Sin campo eléctrico, la única fuerza es la magnética. Como la velocidad, dirigida según el eje $X$, es perpendicular al campo, dirigido según el eje $Z$, la fuerza tiene módulo constante y es siempre perpendicular a la velocidad: actúa como fuerza centrípeta y el movimiento resulta circular uniforme.

$|q|\,v\,B=\dfrac{m_p\,v^{2}}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m_p\,v}{|q|\,B}$

$R=\dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot5}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot20}=2{,}61\cdot10^{-9}\ \text{m}$

El radio de giro es de $2{,}61\cdot10^{-9}\ \text{m}$, del orden del nanómetro: con un campo tan intenso y una velocidad tan pequeña la circunferencia que describe el protón es diminuta.

$\textbf{c) Calcula el módulo de la aceleración del protón, y dibuja los vectores velocidad, aceleración y fuerza magnética en un punto de la trayectoria.}$










Al ser un movimiento circular uniforme, la aceleración es exclusivamente normal:

$a=\dfrac{v^{2}}{R}=\dfrac{5^{2}}{2{,}61\cdot10^{-9}}=9{,}58\cdot10^{9}\ \text{m/s}^{2}$

Se llega al mismo valor por la segunda ley de Newton:

$a=\dfrac{|q|\,v\,B}{m_p}=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot20}{1{,}67\cdot10^{-27}}=9{,}58\cdot10^{9}\ \text{m/s}^{2}$





En cuanto a los vectores, la velocidad es tangente a la trayectoria en cada punto, mientras que la fuerza magnética y la aceleración tienen la misma dirección y sentido —difieren solo en el factor $m_p$— y apuntan siempre hacia el centro de la circunferencia, perpendicularmente a la velocidad. Precisamente por ser perpendicular al desplazamiento, la fuerza magnética no realiza trabajo y el módulo de la velocidad no cambia nunca.

La aceleración del protón vale $9{,}58\cdot10^{9}\ \text{m/s}^{2}$. Conviene señalar que el solucionario oficial da $9{,}6\cdot10^{8}\ \text{m/s}^{2}$ porque al sustituir escribe el radio como $2{,}6\cdot10^{-8}\ \text{m}$ en lugar de $2{,}6\cdot10^{-9}\ \text{m}$, que es el que él mismo había obtenido en el apartado anterior.