Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Ejercicio B5
Una caja que contiene 500 monedas es vaciada sobre una mesa. Halla

a) la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 240;
b) la probabilidad de que el número de caras sea menor que 230;
c) la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 230 y 240, ambos incluidos.

Al vaciar la caja, cada moneda cae de forma independiente y con la misma probabilidad de salir cara. La variable $X$ que cuenta el número de caras es, por tanto, discreta y sigue una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(500;\;0{,}5)$

Manejar esa binomial directamente es inviable, pero se puede aproximar por una normal siempre que $np$ y $nq$ sean suficientemente grandes. Lo comprobamos:

$np=500\cdot0{,}5=250\geq5,\qquad nq=500\cdot0{,}5=250\geq5$

Calculamos los parámetros de la normal:

$\mu=np=250$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{500\cdot0{,}5\cdot0{,}5}=\sqrt{125}=11{,}18$

$X\approx X'\sim N(250;\;11{,}18)$

Como pasamos de una variable discreta a una continua, en todos los apartados se aplica la corrección de continuidad de Yates.



$\textbf{a) Halla la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 240.}$

«Mayor que $240$» significa $241$ o más, de modo que el límite continuo se sitúa medio punto por debajo, en $240{,}5$.

$P(X>240)\approx P(X'\geq240{,}5)=P\left(Z\geq\dfrac{240{,}5-250}{11{,}18}\right)$

$=P(Z\geq-0{,}85)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas:

$P(Z\geq-0{,}85)=P(Z\leq0{,}85)=0{,}8023$

La probabilidad de que el número de caras sea mayor que $240$ es $0{,}8023$.

$\textbf{b) Halla la probabilidad de que el número de caras sea menor que 230.}$

«Menor que $230$» significa $229$ o menos, luego el límite continuo se sitúa en $229{,}5$.

$P(X<230)\approx P(X'\leq229{,}5)=P\left(Z\leq\dfrac{229{,}5-250}{11{,}18}\right)$

$=P(Z\leq-1{,}83)=1-P(Z\leq1{,}83)=1-0{,}9664=0{,}0336$

La probabilidad de que el número de caras sea menor que $230$ es $0{,}0336$.

$\textbf{c) Halla la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 230 y 240, ambos incluidos.}$

Los tres sucesos de los tres apartados son incompatibles y cubren todas las posibilidades, así que el más cómodo es obtener este por diferencia al total.

$P(230\leq X\leq240)=1-P(X>240)-P(X<230)$

$=1-0{,}8023-0{,}0336=0{,}1641$

Se llega al mismo valor tipificando directamente los dos extremos, $229{,}5$ y $240{,}5$:

$P(-1{,}83\leq Z\leq-0{,}85)=(1-0{,}8023)-0{,}0336=0{,}1641$

La probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre $230$ y $240$, ambos incluidos, es $0{,}1641$.