Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Ejercicio B4
Dibuja el recinto limitado por las parábolas de ecuaciones $y=2x^2-4x+3$ e $y=x^2-2x+3$ y calcula el área de ese recinto.

$\textbf{Dibuja el recinto limitado por las parábolas de ecuaciones } \boldsymbol{y=2x^2-4x+3}\textbf{ e } \boldsymbol{y=x^2-2x+3}\textbf{.}$

Las dos son parábolas con las ramas hacia arriba. Localizamos sus vértices y sus puntos de corte.

$x_{V_1}=\dfrac{-(-4)}{2\cdot2}=1\Rightarrow V_1(1,1)$

$x_{V_2}=\dfrac{-(-2)}{2\cdot1}=1\Rightarrow V_2(1,2)$

Ambas tienen el vértice en la misma abscisa, lo que da al recinto una forma de lente simétrica respecto de la recta $x=1$. Igualamos para hallar los cortes:

$2x^2-4x+3=x^2-2x+3\Rightarrow x^2-2x=0$

$x(x-2)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}$

$x=0\Rightarrow y=3;\qquad x=2\Rightarrow y=3$

Se cortan, pues, en $(0,3)$ y $(2,3)$. Para saber cuál va por encima dentro del recinto basta evaluarlas en un punto intermedio:

$\text{Si }x=1:\quad 2-4+3=1\ <\ 1-2+3=2$

El recinto está limitado por arriba por la parábola $y=x^2-2x+3$, la más abierta, y por abajo por $y=2x^2-4x+3$, entre las abscisas $x=0$ y $x=2$.



$\textbf{Calcula el área de ese recinto.}$

El área se obtiene integrando entre las abscisas de los cortes la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo, y aplicando la regla de Barrow.

$\mathcal{A}=\int_0^2\left[\left(x^2-2x+3\right)-\left(2x^2-4x+3\right)\right]dx$

Simplificamos el integrando:

$\left(x^2-2x+3\right)-\left(2x^2-4x+3\right)=-x^2+2x$

$\int_0^2\left(-x^2+2x\right)dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2$

$=\left(-\dfrac83+4\right)-0=\dfrac{4}{3}$

El área del recinto es de $\dfrac43$ unidades de área.