Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Ejercicio A4
Calcula $\int (x^2+1)e^{x+1}\,dx$, explicando el método utilizado.

$\textbf{Calcula } \boldsymbol{\int(x^2+1)e^{x+1}\,dx}\textbf{, explicando el método utilizado.}$

El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, de modo que se resuelve por partes. Se toma como $u$ el polinomio, porque al derivarlo baja de grado; habrá que repetir el proceso tantas veces como indique ese grado, aquí dos.

$\begin{cases}u=x^2+1\Rightarrow du=2x\,dx\\ dv=e^{x+1}\,dx\Rightarrow v=e^{x+1}\end{cases}$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

$\int\left(x^2+1\right)e^{x+1}\,dx=\left(x^2+1\right)e^{x+1}-\int 2x\,e^{x+1}\,dx$

La integral que queda es del mismo tipo, con el polinomio ya de primer grado, así que se integra otra vez por partes con el mismo criterio:

$\begin{cases}u=2x\Rightarrow du=2\,dx\\ dv=e^{x+1}\,dx\Rightarrow v=e^{x+1}\end{cases}$

$\int 2x\,e^{x+1}\,dx=2x\,e^{x+1}-\int 2e^{x+1}\,dx=2x\,e^{x+1}-2e^{x+1}$

Sustituyendo este resultado en la expresión anterior:

$\int\left(x^2+1\right)e^{x+1}\,dx=\left(x^2+1\right)e^{x+1}-2x\,e^{x+1}+2e^{x+1}+C$

Sacando factor común la exponencial:

$=\left(x^2-2x+3\right)e^{x+1}+C$

El método empleado ha sido la integración por partes, aplicada dos veces seguidas y tomando en ambas el polinomio como $u$, hasta que este desaparece.