Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Ejercicio B3
Sea $f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$. Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que $f(0)=2$, las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x=1$ y $x=3$ sean paralelas y $f$ tenga un extremo relativo en el punto $x=-1$. Ese extremo relativo, ¿es un máximo o un mínimo? Estudia si $f$ tiene algún otro extremo relativo y determina si son máximos o mínimos.

$\textbf{Encuentra los valores de los parámetros } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{.}$

El enunciado da tres condiciones, y cada una proporciona una ecuación. Calculamos primero la derivada.

$f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C\Rightarrow f'(x)=3x^2+2Ax+B$

i) El término independiente es el valor de la función en el origen:

$f(0)=C=2$

ii) Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada:

$f'(1)=f'(3)$

$3+2A+B=27+6A+B\Rightarrow 3+2A=27+6A$

$-24=4A\Rightarrow A=-6$

iii) Que exista un extremo relativo en $x=-1$ obliga a que la derivada se anule ahí:

$f'(-1)=0\Rightarrow 3-2A+B=0$

$3+12+B=0\Rightarrow B=-15$

Los parámetros son $A=-6$, $B=-15$ y $C=2$, con lo que la función es:

$f(x)=x^3-6x^2-15x+2$

$\textbf{Ese extremo relativo, ¿es un máximo o un mínimo? Estudia si } \boldsymbol{f}\textbf{ tiene algún otro extremo relativo y determina si son máximos o mínimos.}$

Factorizamos la derivada para localizar todos los puntos críticos:

$f'(x)=3x^2-12x-15=3\left(x^2-4x-5\right)=3(x-5)(x+1)$

$f'(x)=0\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\ x=5\end{cases}$

Hay, por tanto, otro extremo además del que daba el enunciado. Para decidir el carácter de cada uno usamos el signo de la segunda derivada:

$f''(x)=6x-12$

$f''(-1)=-6-12=-18<0\Rightarrow \text{máximo relativo}$

$f''(5)=30-12=18>0\Rightarrow \text{mínimo relativo}$

Calculamos las ordenadas correspondientes:

$f(-1)=-1-6+15+2=10$

$f(5)=125-150-75+2=-98$

El extremo relativo de $x=-1$ es un máximo, y la función tiene además un mínimo relativo en $x=5$: los puntos son $(-1,10)$ y $(5,-98)$.