Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Ejercicio A2
Sean la recta $r$ y el plano $\pi$, que se cortan perpendicularmente en el punto $P(1,-1,2)$. Si el plano $\pi$ pasa por el punto $Q(1,2,3)$ y contiene al vector $(0,0,2)$, calcula las ecuaciones de la recta $r$ y del plano $\pi$.

$\textbf{Calcula las ecuaciones de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

Conviene empezar por el plano, porque de él sale el vector normal, y ese mismo vector es el director de la recta al ser ambos perpendiculares.

El plano pasa por $P$ (que es el punto de corte, luego también le pertenece) y por $Q$, y contiene además el vector $(0,0,2)$. Tenemos, pues, dos vectores contenidos en él:

$\overrightarrow{PQ}=(1,2,3)-(1,-1,2)=(0,3,1)$

$\vec u=(0,0,2)$

Su producto vectorial da el vector normal:

$\vec n_\pi=\overrightarrow{PQ}\times\vec u=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\0&3&1\\0&0&2\end{vmatrix}=(6,0,0)$

Dividiendo entre $6$:

$\vec n_\pi=(1,0,0)$

$\pi:x+D=0$

Imponiendo que pase por $P(1,-1,2)$:

$1+D=0\Rightarrow D=-1$

$\pi\equiv x-1=0$

Comprobamos que $Q(1,2,3)$ también lo verifica: $1-1=0$.

La recta es perpendicular al plano, de modo que su vector director es el normal de este, y pasa por el punto de corte $P$:

$\vec v_r=\vec n_\pi=(1,0,0)$

$r:\begin{cases}x=1+t\\ y=-1\\ z=2\end{cases},\ t\in\mathbb{R}$

El plano es $\pi\equiv x-1=0$ y la recta, $r$, es la paralela al eje $OX$ que pasa por $P(1,-1,2)$.