Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

B.2. [hasta 2,5 puntos]
Se considera la función definida por:
$f(x)=\begin{cases} 2x^2-8x+6 & si\ x\le 1\\ -2x^2+8x-6 & si\ x>1\end{cases}$

a) [1,7 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de la función.
b) [0,4 puntos] Determina los extremos relativos de la función.
c) [0,4 puntos] Representa la gráfica de la función.

Conviene factorizar los dos trozos, porque las dos expresiones son la misma parábola cambiada de signo y eso explica todo lo que sigue.

$2x^2-8x+6=2(x-1)(x-3)\qquad ;\qquad -2x^2+8x-6=-2(x-1)(x-3)$

$\textbf{a) [1,7 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de la función.}$

Cada trozo es un polinomio, y los polinomios son continuos y derivables en todo $\mathbb{R}$. El único punto dudoso es el empalme, $x=1$.

i) Continuidad en $x=1$. Se comprueban las tres condiciones.

$f(1)=2\cdot 1-8\cdot 1+6=0$

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}\left(2x^2-8x+6\right)=0$

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\left(-2x^2+8x-6\right)=0$

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^+}f(x)=f(1)=0\ \Rightarrow\ \text{continua en }x=1$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$.

ii) Derivabilidad en $x=1$. Se derivan los dos trozos y se comparan las derivadas laterales.

$f'(x)=\begin{cases} 4x-8 & \text{si }x<1 \\ -4x+8 & \text{si }x>1 \end{cases}$

$f'(1^-)=4-8=-4\qquad ;\qquad f'(1^+)=-4+8=4$

$f'(1^-)=-4\neq 4=f'(1^+)\ \Rightarrow\ \text{no derivable en }x=1$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$ pero solo derivable en $\mathbb{R}-\{1\}$: en $x=1$ presenta un punto anguloso, porque las dos ramas llegan con pendientes opuestas.

$\textbf{b) [0,4 puntos] Determina los extremos relativos de la función.}$

Los candidatos son los puntos que anulan la derivada y, además, el punto donde la función no es derivable.

$4x-8=0\ \Rightarrow\ x=2$

Este valor no sirve, porque la expresión $4x-8$ solo vale para $x<1$. En ese tramo la derivada es siempre negativa, ya que $4x-8<-4<0$, de modo que la función decrece.

$-4x+8=0\ \Rightarrow\ x=2$

Este sí pertenece al tramo $x>1$. El signo de la derivada da la naturaleza de los dos candidatos.

$\begin{array}{c|ccc} & (-\infty,1) & (1,2) & (2,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - \\ f(x) & \searrow & \nearrow & \searrow \end{array}$

$f(1)=0\qquad ;\qquad f(2)=-8+16-6=2$

La función tiene un mínimo relativo en $(1,0)$ —que es el punto anguloso, donde pasa de decrecer a crecer— y un máximo relativo en $(2,2)$.

$\textbf{c) [0,4 puntos] Representa la gráfica de la función.}$

Basta unir los dos trozos de parábola. El primero es un arco de la parábola $2(x-1)(x-3)$, con las ramas hacia arriba, dibujado solo hasta $x=1$; el segundo es la misma parábola invertida, con las ramas hacia abajo y vértice en $(2,2)$, dibujada a partir de $x=1$. Ambas cortan al eje en $x=1$ y $x=3$.