Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

A.3. [hasta 2,5 puntos]
Gorka, jugador de un equipo de fútbol, ha sido titular en un 80 % de los partidos de la liga. Su equipo ha ganado un 40 % de los partidos en los que Gorka ha sido titular; y cuando no lo ha sido, su equipo ha ganado un 45 % de los partidos.

a) [0,8 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo gane un partido?
b) [0,6 puntos] Sabiendo que ha ganado su equipo, ¿cuál es la probabilidad de que Gorka haya sido titular?
c) [0,6 puntos] Calcula la probabilidad de que Gorka no sea titular y que su equipo gane el partido.
d) [0,5 puntos] ¿Los sucesos “ser titular” y “ganar el partido” son sucesos independientes? Razona tu respuesta.

Se llama $T$ al suceso «Gorka es titular» y $G$ al suceso «el equipo gana el partido». Los porcentajes del enunciado se traducen en una probabilidad y dos probabilidades condicionadas.

$P(T)=0{,}80\ \Rightarrow\ P(\overline{T})=0{,}20$

$P(G\mid T)=0{,}40\qquad ;\qquad P(G\mid\overline{T})=0{,}45$



$\textbf{a) [0,8 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo gane un partido?}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas del árbol que terminan en victoria.

$P(G)=P(T)\cdot P(G\mid T)+P(\overline{T})\cdot P(G\mid\overline{T})$

$P(G)=0{,}80\cdot 0{,}40+0{,}20\cdot 0{,}45=0{,}32+0{,}09=0{,}41$

La probabilidad de que el equipo gane un partido es $0{,}41$, es decir, un $41\%$.

$\textbf{b) [0,6 puntos] Sabiendo que ha ganado su equipo, ¿cuál es la probabilidad de que Gorka haya sido titular?}$

Se conoce el resultado del partido y se pregunta por la alineación, de modo que se aplica el teorema de Bayes.

$P(T\mid G)=\dfrac{P(T)\cdot P(G\mid T)}{P(G)}=\dfrac{0{,}32}{0{,}41}=\dfrac{32}{41}\approx 0{,}7805$

Sabiendo que el equipo ha ganado, la probabilidad de que Gorka fuese titular es $\frac{32}{41}\approx 0{,}7805$, es decir, un $78{,}05\%$.

$\textbf{c) [0,6 puntos] Calcula la probabilidad de que Gorka no sea titular y que su equipo gane el partido.}$

Es la probabilidad de una intersección, que se obtiene recorriendo la rama correspondiente del árbol.

$P(\overline{T}\cap G)=P(\overline{T})\cdot P(G\mid\overline{T})=0{,}20\cdot 0{,}45=0{,}09$

La probabilidad de que Gorka no sea titular y el equipo gane es $0{,}09$, es decir, un $9\%$.

$\textbf{d) [0,5 puntos] ¿Los sucesos «ser titular» y «ganar el partido» son sucesos independientes? Razona tu respuesta.}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades. Se comparan las dos cantidades.

$P(T\cap G)=P(T)\cdot P(G\mid T)=0{,}80\cdot 0{,}40=0{,}32$

$P(T)\cdot P(G)=0{,}80\cdot 0{,}41=0{,}328$

$P(T\cap G)=0{,}32\neq 0{,}328=P(T)\cdot P(G)$

Se llega a lo mismo comparando la probabilidad condicionada con la simple: si fuesen independientes, saber que Gorka juega de titular no cambiaría la probabilidad de ganar.

$P(G\mid T)=0{,}40\neq 0{,}41=P(G)$

Los sucesos no son independientes, aunque la diferencia sea pequeña: cuando Gorka es titular el equipo gana algo menos a menudo que en general.