Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

B.2. [hasta 2,5 puntos]

a) [0,8 puntos] Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
$f(x)=(x^2-1)(3x^3+5x)^3\qquad\qquad g(x)=\dfrac{\ln(3x)}{e^{2x}}$
b) [0,6 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la función $h(x)$ en el punto de abscisa $x=1$.
$h(x)=\dfrac{3x+6}{2x+1}$
c) [0,5 puntos] Determina, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función $h(x)$.
d) [0,6 puntos] Calcula:
$\int\left(e^{3x}-3x^2+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{4}{(x+2)^2}\right)dx$

$\textbf{a) [0,8 puntos] Calcula las derivadas de las siguientes funciones.}$

i) La primera es un producto en el que el segundo factor es una potencia, de modo que se aplica la regla del producto y, dentro, la regla de la cadena.

$f(x)=\left(x^2-1\right)\left(3x^3+5x\right)^3$

$f'(x)=2x\left(3x^3+5x\right)^3+\left(x^2-1\right)\cdot 3\left(3x^3+5x\right)^2\left(9x^2+5\right)$

Sacando factor común $\left(3x^3+5x\right)^2$ queda más compacta:

$f'(x)=\left(3x^3+5x\right)^2\left[2x\left(3x^3+5x\right)+3\left(x^2-1\right)\left(9x^2+5\right)\right]$

ii) La segunda es un cociente; se aplica la regla correspondiente, teniendo en cuenta que la derivada de $\ln(3x)$ es $1/x$.

$g(x)=\dfrac{\ln(3x)}{e^{2x}}$

$g'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\,e^{2x}-\ln(3x)\cdot 2e^{2x}}{\left(e^{2x}\right)^2}=\dfrac{e^{2x}\left(\dfrac{1}{x}-2\ln(3x)\right)}{e^{4x}}$

$g'(x)=\dfrac{1-2x\ln(3x)}{x\,e^{2x}}$

$\textbf{b) [0,6 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la función } \boldsymbol{h(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=1}\textbf{.}$

La recta tangente pasa por el punto de la curva y tiene por pendiente el valor de la derivada allí, así que se calculan las dos cosas.

$h(1)=\dfrac{3+6}{2+1}=\dfrac{9}{3}=3$

$h'(x)=\dfrac{3(2x+1)-(3x+6)\cdot 2}{(2x+1)^2}=\dfrac{6x+3-6x-12}{(2x+1)^2}=\dfrac{-9}{(2x+1)^2}$

$h'(1)=\dfrac{-9}{9}=-1$

$y-3=-1(x-1)\ \Rightarrow\ y=-x+4$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=1$ es $y=-x+4$.

$\textbf{c) [0,5 puntos] Determina, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función } \boldsymbol{h(x)}\textbf{.}$

Las asíntotas verticales están donde se anula el denominador sin anularse el numerador.

$2x+1=0\ \Rightarrow\ x=-\dfrac{1}{2}\qquad ;\qquad 3\left(-\dfrac{1}{2}\right)+6=\dfrac{9}{2}\neq 0$

$\lim_{x\to-\frac{1}{2}}\dfrac{3x+6}{2x+1}=\infty\ \Rightarrow\ x=-\dfrac{1}{2}\ \text{es asíntota vertical}$

La asíntota horizontal se obtiene con el límite en el infinito. Al ser un cociente de polinomios del mismo grado, es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x+6}{2x+1}=\dfrac{3}{2}\ \Rightarrow\ y=\dfrac{3}{2}\ \text{es asíntota horizontal}$



$\textbf{d) [0,6 puntos] Calcula la integral.}$

Se descompone en cuatro integrales inmediatas. La tercera es un logaritmo neperiano y la cuarta una potencia de exponente $-2$.

$\int\left(e^{3x}-3x^2+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{4}{(x+2)^2}\right)dx$

$=\int e^{3x}\,dx-3\int x^2\,dx+2\int\dfrac{dx}{x+2}-4\int (x+2)^{-2}\,dx$

$=\dfrac{e^{3x}}{3}-3\cdot\dfrac{x^3}{3}+2\ln|x+2|-4\cdot\dfrac{(x+2)^{-1}}{-1}+C$

$=\dfrac{e^{3x}}{3}-x^3+2\ln|x+2|+\dfrac{4}{x+2}+C$

Se puede comprobar derivando: la derivada de $\frac{4}{x+2}$ es $-\frac{4}{(x+2)^2}$, que es el último sumando del integrando.

El resultado es $\frac{e^{3x}}{3}-x^3+2\ln|x+2|+\frac{4}{x+2}+C$, con $C$ constante real.