Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

A.2. [hasta 2,5 puntos]
Sea $f(x)$ la función:
$f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x+1}{1-2x} & si\ \ x<0\\[2mm] x^2-x-a & si\ \ x\ge 0\end{cases}$

a) [0,7 puntos] Encuentra el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en punto $x=0$.
b) [1 punto] En el caso $a=2$, analiza los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, y los máximos y mínimos relativos.
c) [0,8 puntos] En el caso $a=2$, realiza la representación gráfica de la función.

$\textbf{a) [0,7 puntos] Encuentra el valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en punto } \boldsymbol{x=0}\textbf{.}$

Para que la función sea continua en $x=0$ los dos límites laterales han de coincidir con la imagen. La imagen la da el segundo trozo, que está definido para $x\geq 0$.

$f(0)=0^2-0-a=-a$

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{2x+1}{1-2x}=\dfrac{1}{1}=1$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\left(x^2-x-a\right)=-a$

$-a=1\ \Rightarrow\ a=-1$

La función es continua en $x=0$ únicamente cuando $a=-1$.

$\textbf{b) [1 punto] En el caso } \boldsymbol{a=2}\textbf{, analiza los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, y los máximos y mínimos relativos.}$

Con $a=2$ la función queda así, y conviene advertir desde el principio que ya no es continua en el origen, porque el valor que la hacía continua era $a=-1$.

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x+1}{1-2x} & \text{si }x<0 \\[2mm] x^2-x-2 & \text{si }x\geq 0 \end{cases}$

Se deriva cada trozo por separado.

$x<0:\quad f'(x)=\dfrac{2(1-2x)-(2x+1)(-2)}{(1-2x)^2}=\dfrac{2-4x+4x+2}{(1-2x)^2}=\dfrac{4}{(1-2x)^2}$

El numerador es una constante positiva y el denominador un cuadrado, de modo que la derivada es positiva en todo el tramo y la función crece.

$x>0:\quad f'(x)=2x-1$

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ 2x-1=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{1}{2}$

$f''(x)=2>0\ \Rightarrow\ \text{mínimo relativo}$

$f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{9}{4}$

$\begin{array}{c|ccc} & (-\infty,0) & \left(0,\frac{1}{2}\right) & \left(\frac{1}{2},+\infty\right) \\ \hline f'(x) & + & - & + \\ f(x) & \nearrow & \searrow & \nearrow \end{array}$

La función crece en $(-\infty,0)$ y en $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$, y decrece en $\left(0,\frac{1}{2}\right)$. Tiene un mínimo relativo en el punto $\left(\frac{1}{2},-\frac{9}{4}\right)$. En $x=0$ no hay máximo relativo: lo que hay es una discontinuidad de salto, porque la rama de la izquierda se acerca a $1$ sin alcanzarlo mientras que $f(0)=-2$.



$\textbf{c) [0,8 puntos] En el caso } \boldsymbol{a=2}\textbf{, realiza la representación gráfica de la función.}$

La rama de la izquierda es una hipérbola. Como solo se dibuja para $x<0$, su asíntota vertical $x=\frac{1}{2}$ queda fuera del trozo y lo único que hace falta es su comportamiento en el infinito y su corte con el eje.

$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x+1}{1-2x}=\dfrac{2}{-2}=-1\ \Rightarrow\ y=-1\ \text{asíntota horizontal}$

$2x+1=0\ \Rightarrow\ x=-\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ \text{corte en}\ \left(-\dfrac{1}{2},0\right)$

La rama de la derecha es una parábola con las ramas hacia arriba, cuyo vértice es el mínimo ya calculado y cuyos cortes con el eje se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado.

$x^2-x-2=0\ \Rightarrow\ (x-2)(x+1)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases} x=-1\ \text{(fuera del trozo)} \\ x=2 \end{cases}$

$f(0)=-2$