Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

B.2. [hasta 2,5 puntos]
Se considera la función $f(x)=ax^3+bx+11$

a) [1 punto] Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $(2,5)$.
b) [0,75 puntos] En el caso $a=\dfrac{3}{8}$ y $b=\dfrac{-9}{2}$, estudia los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función.
c) [0,75 puntos] En el caso $a=\dfrac{3}{8}$ y $b=\dfrac{-9}{2}$, representa y calcula el área de la región limitada por la función, el eje de abscisas OX y las rectas $x=-2$ y $x=2$.

$\textbf{a) [1 punto] Calcula el valor de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga un extremo relativo en el punto } \boldsymbol{(2,5)}\textbf{.}$

Que haya un extremo relativo en ese punto impone dos condiciones: la curva pasa por él y la derivada se anula allí.

$f(x)=ax^3+bx+11\qquad ;\qquad f'(x)=3ax^2+b$

$f(2)=8a+2b+11=5\ \Rightarrow\ 8a+2b=-6\ \Rightarrow\ 4a+b=-3$

$f'(2)=12a+b=0$

Se restan las dos ecuaciones para eliminar $b$:

$(12a+b)-(4a+b)=0-(-3)\ \Rightarrow\ 8a=3\ \Rightarrow\ a=\dfrac{3}{8}$

$b=-12a=-12\cdot\dfrac{3}{8}=-\dfrac{9}{2}$

Los parámetros son $a=\frac{3}{8}$ y $b=-\frac{9}{2}$, que son precisamente los valores con los que se trabaja en los apartados siguientes.

$\textbf{b) [0,75 puntos] En el caso } \boldsymbol{a=\frac{3}{8}}\textbf{ y } \boldsymbol{b=\frac{-9}{2}}\textbf{, estudia los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función.}$

Con esos valores la función y sus derivadas quedan así:

$f(x)=\dfrac{3}{8}x^3-\dfrac{9}{2}x+11$

$f'(x)=\dfrac{9}{8}x^2-\dfrac{9}{2}\qquad ;\qquad f''(x)=\dfrac{9}{4}x$

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ \dfrac{9}{8}x^2=\dfrac{9}{2}\ \Rightarrow\ x^2=4\ \Rightarrow\ x=\pm 2$

$f''(-2)=-\dfrac{9}{2}<0\ \Rightarrow\ \text{máximo relativo}\qquad ;\qquad f''(2)=\dfrac{9}{2}>0\ \Rightarrow\ \text{mínimo relativo}$

$f(-2)=-3+9+11=17\qquad ;\qquad f(2)=3-9+11=5$

$f''(x)=0\ \Rightarrow\ x=0\qquad ;\qquad f'''(x)=\dfrac{9}{4}\neq 0\ \Rightarrow\ \text{punto de inflexión}$

$f(0)=11$

La función tiene un máximo relativo en $(-2,17)$, un mínimo relativo en $(2,5)$ —el que daba el enunciado del apartado anterior— y un punto de inflexión en $(0,11)$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] En el caso } \boldsymbol{a=\frac{3}{8}}\textbf{ y } \boldsymbol{b=\frac{-9}{2}}\textbf{, representa y calcula el área de la región limitada por la función, el eje de abscisas OX y las rectas } \boldsymbol{x=-2}\textbf{ y } \boldsymbol{x=2}\textbf{.}$

Antes de integrar hay que comprobar que la función no cambia de signo en el intervalo. Por el apartado anterior, en $[-2,2]$ la función decrece desde el máximo $17$ hasta el mínimo $5$, de modo que se mantiene siempre por encima del eje.

$A=\int_{-2}^{2}\left(\dfrac{3}{8}x^3-\dfrac{9}{2}x+11\right)dx$

$=\left[\dfrac{3}{32}x^4-\dfrac{9}{4}x^2+11x\right]_{-2}^{2}$

$=\left(\dfrac{3\cdot 16}{32}-\dfrac{9\cdot 4}{4}+22\right)-\left(\dfrac{3\cdot 16}{32}-\dfrac{9\cdot 4}{4}-22\right)$

$=\left(\dfrac{3}{2}-9+22\right)-\left(\dfrac{3}{2}-9-22\right)=22+22=44$

Los dos primeros sumandos del integrando son funciones impares, de modo que sus integrales sobre un intervalo simétrico se anulan y todo el área procede del término constante:

$\int_{-2}^{2}11\,dx=11\cdot 4=44$

El área de la región limitada es de $44$ unidades de área.