Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

A.2. [hasta 2,5 puntos]
Sea la función:
$f(x)=\begin{cases} x^3+3x^2 & si\ \ x<1\\[2mm] ax+\dfrac{2}{x} & si\ \ x\ge 1\end{cases}$

a) [0,5 puntos] Determina el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x=1$.
b) [0,4 puntos] En el caso $a=\dfrac{1}{2}$, determina la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x=2$.
c) [1 punto] En el caso $a=2$, realiza la representación gráfica de la función; para ello, calcula los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión cuando $x<1$.
d) [0,6 puntos] Calcula:
$\int\left(x^3+3x^2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right)dx$

$\textbf{a) [0,5 puntos] Determina el valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en el punto } \boldsymbol{x=1}\textbf{.}$

Se exige que los dos límites laterales coincidan con la imagen, que la da el segundo trozo por estar definido para $x\geq 1$.

$f(1)=a\cdot 1+\dfrac{2}{1}=a+2$

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}\left(x^3+3x^2\right)=1+3=4$

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=a+2$

$a+2=4\ \Rightarrow\ a=2$

La función es continua en $x=1$ únicamente cuando $a=2$.

$\textbf{b) [0,4 puntos] En el caso } \boldsymbol{a=\frac{1}{2}}\textbf{, determina la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=2}\textbf{.}$

Como $2\geq 1$, se trabaja con el segundo trozo de la función.

$f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\qquad ;\qquad f'(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{x^2}$

$f(2)=\dfrac{2}{2}+\dfrac{2}{2}=1+1=2$

$f'(2)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$

$y-2=0\,(x-2)\ \Rightarrow\ y=2$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=2$ es la recta horizontal $y=2$, lo que indica además que ahí la función tiene un extremo.

$\textbf{c) [1 punto] En el caso } \boldsymbol{a=2}\textbf{, realiza la representación gráfica de la función; para ello, calcula los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión cuando } \boldsymbol{x<1}\textbf{.}$

En el tramo $x<1$ la función es la cúbica $x^3+3x^2$. Se calculan sus dos primeras derivadas.

$f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)\qquad ;\qquad f''(x)=6x+6$

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases} x=-2 \\ x=0 \end{cases}$

Los dos puntos críticos pertenecen al tramo, ya que ambos son menores que $1$.

$f''(-2)=-12+6=-6<0\ \Rightarrow\ \text{máximo relativo}$

$f''(0)=6>0\ \Rightarrow\ \text{mínimo relativo}$

$f(-2)=-8+12=4\qquad ;\qquad f(0)=0$

$f''(x)=0\ \Rightarrow\ 6x+6=0\ \Rightarrow\ x=-1$

$f'''(x)=6\neq 0\ \Rightarrow\ x=-1\ \text{es punto de inflexión}\qquad ;\qquad f(-1)=-1+3=2$

En el tramo $x\geq 1$ la función es $2x+\frac{2}{x}$, creciente a partir de $x=1$, y con $a=2$ los dos trozos empalman en el punto $(1,4)$.

La función tiene un máximo relativo en $(-2,4)$, un mínimo relativo en $(0,0)$ y un punto de inflexión en $(-1,2)$.



$\textbf{d) [0,6 puntos] Calcula la integral.}$

Se descompone en cuatro integrales inmediatas. La tercera es un logaritmo neperiano y la cuarta una potencia de exponente $-2$.

$\int\left(x^3+3x^2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right)dx=\int x^3dx+3\int x^2dx+2\int\dfrac{dx}{x}-4\int x^{-2}dx$

$=\dfrac{x^4}{4}+3\cdot\dfrac{x^3}{3}+2\ln|x|-4\cdot\dfrac{x^{-1}}{-1}+C$

$=\dfrac{x^4}{4}+x^3+2\ln|x|+\dfrac{4}{x}+C$

El resultado es $\frac{x^4}{4}+x^3+2\ln|x|+\frac{4}{x}+C$, con $C$ constante real.