Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

A.2. [hasta 2,5 puntos]
Sea $f(x)$ la siguiente función:
$f(x)=\begin{cases} x+2 & si\ \ -2\le x<0\\ -x+2 & si\ \ 0\le x<2\\ x^2-4x+4 & si\ \ 2\le x\le 4\end{cases}$

a) [1 punto] Analiza la continuidad de la función en el intervalo $[-2,4]$.
b) [0,5 puntos] Realiza la representación gráfica de la función.
c) [1 punto] Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas OX.

$\textbf{a) [1 punto] Analiza la continuidad de la función en el intervalo } \boldsymbol{[-2,4]}\textbf{.}$

En cada trozo abierto la función es un polinomio, y los polinomios son continuos en todo su dominio. Los únicos puntos dudosos son los dos empalmes, $x=0$ y $x=2$, donde hay que comprobar las tres condiciones de la continuidad.

i) Empalme en $x=0$:

$f(0)=-0+2=2$

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(x+2)=2$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(-x+2)=2$

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)=2\ \Rightarrow\ \text{continua en }x=0$

ii) Empalme en $x=2$:

$f(2)=2^2-4\cdot 2+4=0$

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(-x+2)=0$

$\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\left(x^2-4x+4\right)=4-8+4=0$

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^+}f(x)=f(2)=0\ \Rightarrow\ \text{continua en }x=2$

En los extremos del intervalo la continuidad es lateral y se cumple, ya que $f(-2)=0$ y $f(4)=4$ coinciden con los límites correspondientes.

La función es continua en todo el intervalo $[-2,4]$.

$\textbf{b) [0,5 puntos] Realiza la representación gráfica de la función.}$

Los dos primeros trozos son segmentos de recta, determinados por dos puntos cada uno, y el tercero es un arco de la parábola $y=(x-2)^2$, que tiene el vértice justo en el empalme.

$\begin{cases} y=x+2:\ (-2,0)\ \text{y}\ (0,2) \\ y=-x+2:\ (0,2)\ \text{y}\ (2,0) \\ y=(x-2)^2:\ \text{vértice }(2,0)\ \text{y}\ (4,4) \end{cases}$



$\textbf{c) [1 punto] Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas OX.}$

En la gráfica se ve que la función no cambia de signo: se mantiene por encima del eje de abscisas y solo lo toca en $x=-2$ y en $x=2$. No hacen falta, por tanto, valores absolutos, y el área es la suma de las tres integrales definidas, una por trozo.

$A=\int_{-2}^{0}(x+2)\,dx+\int_{0}^{2}(-x+2)\,dx+\int_{2}^{4}\left(x^2-4x+4\right)dx$

Aplicando la regla de Barrow a cada una:

$\int_{-2}^{0}(x+2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{-2}^{0}=0-(2-4)=2$

$\int_{0}^{2}(-x+2)\,dx=\left[-\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{0}^{2}=(-2+4)-0=2$

$\int_{2}^{4}\left(x^2-4x+4\right)dx=\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{2}^{4}=\dfrac{8}{3}-0=\dfrac{8}{3}$

$A=2+2+\dfrac{8}{3}=\dfrac{6+6+8}{3}=\dfrac{20}{3}$

El área comprendida entre la función y el eje de abscisas es $\frac{20}{3}\approx 6{,}67$ unidades de área.