Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

B 2 [hasta 2,5 puntos]
Sea la siguiente función $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.

a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función.
b) [0,5 puntos] Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función.
c) [0,5 puntos] Representa gráficamente el área comprendida entre la función y la recta $y=\dfrac{x}{2}$.
d) [0,5 puntos] Obtén la primitiva de la función $f(x)$, sabiendo que en $x=0$ toma el valor 1.

Se empieza calculando la derivada, que es la herramienta del primer apartado.

$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$

$f'(x)=\dfrac{\left(x^2+1\right)-x\cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}$

$\textbf{a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función.}$

El denominador es siempre positivo, de modo que el signo de la derivada lo decide únicamente el numerador.

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ 1-x^2=0\ \Rightarrow\ x=\pm 1$

$\begin{cases} f'(-2)=\dfrac{1-4}{25}<0 \\ f'(0)=\dfrac{1}{1}=1>0 \\ f'(2)=\dfrac{1-4}{25}<0 \end{cases}$

$\begin{array}{c|ccc} & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - \\ f(x) & \searrow & \nearrow & \searrow \end{array}$

$f(-1)=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}\qquad ;\qquad f(1)=\dfrac{1}{2}$

La función decrece en $(-\infty,-1)$ y en $(1,+\infty)$, y crece en $(-1,1)$. Tiene un mínimo relativo en $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ y un máximo relativo en $\left(1,\frac{1}{2}\right)$.

$\textbf{b) [0,5 puntos] Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función.}$

Las asíntotas verticales estarían donde se anulase el denominador, así que se comprueba si eso ocurre.

$x^2+1=0\ \Rightarrow\ x^2=-1$

La ecuación no tiene solución real, de modo que el denominador no se anula nunca y la función no tiene asíntotas verticales. Para la horizontal se calcula el límite en el infinito, con el numerador de grado menor que el denominador.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^2+1}=0\ \Rightarrow\ y=0\ \text{es asíntota horizontal}$

La función no tiene asíntotas verticales y tiene una asíntota horizontal, el eje de abscisas $y=0$.

$\textbf{c) [0,5 puntos] Representa gráficamente el área comprendida entre la función y la recta } \boldsymbol{y=\frac{x}{2}}\textbf{.}$

Primero se localizan los cortes entre la curva y la recta, que son los que delimitan el recinto.

$\dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac{x}{2}\ \Rightarrow\ 2x=x\left(x^2+1\right)\ \Rightarrow\ x\left(x^2-1\right)=0$

$\begin{cases} x=0 \\ x=-1 \\ x=1 \end{cases}$

$\text{Cortes}:\ (-1,-\tfrac{1}{2}),\quad (0,0),\quad (1,\tfrac{1}{2})$

El recinto son dos piezas simétricas respecto del origen, porque tanto la función como la recta son impares: entre $-1$ y $0$ la recta queda por encima, y entre $0$ y $1$ queda por debajo.



$\textbf{d) [0,5 puntos] Obtén la primitiva de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, sabiendo que en } \boldsymbol{x=0}\textbf{ toma el valor 1.}$

En el numerador está, salvo un factor $2$, la derivada del denominador, de modo que la integral es un logaritmo neperiano.

$\int\dfrac{x}{x^2+1}\,dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$

Se impone la condición del enunciado para determinar la constante.

$F(0)=\dfrac{1}{2}\ln 1+C=0+C=1\ \Rightarrow\ C=1$

La primitiva buscada es $F(x)=\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+1$.