Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

A 2 [hasta 2,5 puntos]
Sea $f(x)$ la siguiente función:
$f(x)=\begin{cases} x^2 & si\ \ 0\le x\le 1\\ ax+2 & si\ \ 1<x\le 2\end{cases}$

a) [1 punto] Determina el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x=1$.
b) [0,5 puntos] Realiza la representación gráfica de la función cuando $a=2$.
c) [1 punto] Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas OX para $a=2$.

$\textbf{a) [1 punto] Determina el valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en el punto } \boldsymbol{x=1}\textbf{.}$

Cada trozo es un polinomio, continuo en su intervalo, de modo que el único punto dudoso es el empalme. Se exige que los dos límites laterales coincidan con la imagen, que la da el primer trozo por estar definido para $0\leq x\leq 1$.

$f(1)=1^2=1$

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}x^2=1$

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(ax+2)=a+2$

$a+2=1\ \Rightarrow\ a=-1$

La función es continua en $x=1$ únicamente cuando $a=-1$.

$\textbf{b) [0,5 puntos] Realiza la representación gráfica de la función cuando } \boldsymbol{a=2}\textbf{.}$

Con $a=2$ la función queda así:

$f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{si }0\leq x\leq 1 \\ 2x+2 & \text{si }1<x\leq 2 \end{cases}$

Conviene advertir que con ese valor la función ya no es continua en $x=1$, porque el que la hacía continua era $a=-1$: se produce un salto de $f(1)=1$ a $4$. Por eso el empalme se dibuja con punto lleno abajo y punto hueco arriba.

$\begin{cases} y=x^2:\ \text{arco de parábola de }(0,0)\text{ a }(1,1) \\ y=2x+2:\ \text{segmento de }(1,4)\text{ a }(2,6) \end{cases}$



$\textbf{c) [1 punto] Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas OX para } \boldsymbol{a=2}\textbf{.}$

La función está definida en $[0,2]$ y es positiva en todo ese intervalo, de modo que no hacen falta valores absolutos. Como cambia de expresión en $x=1$, el área es la suma de dos integrales.

$A=\int_{0}^{1}x^2\,dx+\int_{1}^{2}(2x+2)\,dx$

Aplicando la regla de Barrow a cada una:

$\int_{0}^{1}x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}$

$\int_{1}^{2}(2x+2)\,dx=\left[x^2+2x\right]_{1}^{2}=(4+4)-(1+2)=8-3=5$

$A=\dfrac{1}{3}+5=\dfrac{1+15}{3}=\dfrac{16}{3}$

El área comprendida entre la función y el eje de abscisas es $\frac{16}{3}\approx 5{,}33$ unidades de área.