Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

B 2 [hasta 2,5 puntos]

a) [0,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función $y=4-x^2$.
b) [0,75 puntos] Representar gráficamente la función dada por:
$f(x)=\begin{cases} 4-x^2 & si\ \ -2\le x<0\\ 4-x & si\ \ 0\le x\le 4\end{cases}$
c) [1,25 puntos] Hallar el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$ y el eje de abscisas.

$\textbf{a) [0,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función } \boldsymbol{y=4-x^2}\textbf{.}$

Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo, de modo que solo puede tener un máximo. Se confirma con las derivadas.

$y'=-2x\qquad ;\qquad y''=-2$

$y'=0\ \Rightarrow\ -2x=0\ \Rightarrow\ x=0$

$y''(0)=-2<0\ \Rightarrow\ \text{máximo relativo}$

$y(0)=4$

La función crece en $(-\infty,0)$ y decrece en $(0,+\infty)$. Tiene un máximo relativo en el punto $(0,4)$, que es el vértice de la parábola, y no tiene mínimos.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Representar gráficamente la función dada por } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}$

El primer trozo es el arco de la parábola anterior entre $x=-2$ y $x=0$, y el segundo es el segmento de la recta $y=4-x$ entre $x=0$ y $x=4$. En el empalme los dos trozos valen lo mismo, de modo que la función es continua.

$\lim_{x\to 0^-}\left(4-x^2\right)=4=f(0)=4-0$

$\begin{cases} y=4-x^2:\ \text{de }(-2,0)\text{ a }(0,4) \\ y=4-x:\ \text{de }(0,4)\text{ a }(4,0) \end{cases}$



$\textbf{c) [1,25 puntos] Hallar el área de la región limitada por la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y el eje de abscisas.}$

La función se anula justo en los extremos del dominio, $x=-2$ y $x=4$, y es positiva en el interior, de modo que no hacen falta valores absolutos. Como cambia de expresión en $x=0$, el área es la suma de dos integrales.

$A=\int_{-2}^{0}\left(4-x^2\right)dx+\int_{0}^{4}(4-x)\,dx$

Aplicando la regla de Barrow a cada una:

$\int_{-2}^{0}\left(4-x^2\right)dx=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{0}=0-\left(-8+\dfrac{8}{3}\right)=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$

$\int_{0}^{4}(4-x)\,dx=\left[4x-\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}=16-8=8$

$A=\dfrac{16}{3}+8=\dfrac{16+24}{3}=\dfrac{40}{3}$

La segunda pieza es un triángulo de base $4$ y altura $4$, cuya área es $8$, lo que confirma el resultado de la integral.

El área de la región limitada por la gráfica y el eje de abscisas es $\frac{40}{3}\approx 13{,}33$ unidades de área.