Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

A 2 [hasta 2,5 puntos]
Sea la función $f(x)=ax^3+bx+1$.

a) [0,75 puntos] Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $(1,-5)$.
b) [0,75 puntos] Para $a=2$ y $b=-6$, estudiar los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función $f(x)$.
c) [1 punto] Para $a=2$ y $b=-6$, calcula el área comprendida entre la función y la recta $y=2x+1$. Realiza la representación gráfica.

$\textbf{a) [0,75 puntos] Calcula los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga un extremo relativo en el punto } \boldsymbol{(1,-5)}\textbf{.}$

Que haya un extremo relativo en ese punto impone dos condiciones: la curva pasa por él y la derivada se anula allí.

$f(x)=ax^3+bx+1\qquad ;\qquad f'(x)=3ax^2+b$

$f(1)=a+b+1=-5\ \Rightarrow\ a+b=-6$

$f'(1)=3a+b=0$

Se restan las dos ecuaciones para eliminar $b$:

$(3a+b)-(a+b)=0-(-6)\ \Rightarrow\ 2a=6\ \Rightarrow\ a=3$

$b=-3a=-9$

Los parámetros son $a=3$ y $b=-9$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Para } \boldsymbol{a=2}\textbf{ y } \boldsymbol{b=-6}\textbf{, estudiar los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}$

Con esos valores la función es otra distinta de la del apartado anterior, y se estudia con las dos primeras derivadas.

$f(x)=2x^3-6x+1$

$f'(x)=6x^2-6\qquad ;\qquad f''(x)=12x$

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ x^2=1\ \Rightarrow\ x=\pm 1$

$f''(-1)=-12<0\ \Rightarrow\ \text{máximo relativo}\qquad ;\qquad f''(1)=12>0\ \Rightarrow\ \text{mínimo relativo}$

$f(-1)=-2+6+1=5\qquad ;\qquad f(1)=2-6+1=-3$

$f''(x)=0\ \Rightarrow\ x=0\qquad ;\qquad f'''(x)=12\neq 0\ \Rightarrow\ \text{punto de inflexión}$

$f(0)=1$

La función tiene un máximo relativo en $(-1,5)$, un mínimo relativo en $(1,-3)$ y un punto de inflexión en $(0,1)$.

$\textbf{c) [1 punto] Para } \boldsymbol{a=2}\textbf{ y } \boldsymbol{b=-6}\textbf{, calcula el área comprendida entre la función y la recta } \boldsymbol{y=2x+1}\textbf{. Realiza la representación gráfica.}$

Los límites de integración son los cortes entre la curva y la recta.

$2x^3-6x+1=2x+1\ \Rightarrow\ 2x^3-8x=0\ \Rightarrow\ 2x\left(x^2-4\right)=0$

$\begin{cases} x=-2 \\ x=0 \\ x=2 \end{cases}$

Hay tres cortes, de modo que el recinto tiene dos piezas y en cada una manda una de las dos curvas. Basta probar un punto interior de cada tramo para saber cuál va por encima.

$x=-1:\ f(-1)=5>-1=2(-1)+1\ \Rightarrow\ \text{la curva va por encima}$

$x=1:\ f(1)=-3<3=2\cdot 1+1\ \Rightarrow\ \text{la recta va por encima}$

$A=\int_{-2}^{0}\left[\left(2x^3-6x+1\right)-(2x+1)\right]dx+\int_{0}^{2}\left[(2x+1)-\left(2x^3-6x+1\right)\right]dx$

Los dos integrandos son opuestos y muy sencillos:

$\left(2x^3-6x+1\right)-(2x+1)=2x^3-8x$

$A=\left|\int_{-2}^{0}\left(2x^3-8x\right)dx\right|+\left|\int_{0}^{2}\left(2x^3-8x\right)dx\right|$

$\int\left(2x^3-8x\right)dx=\dfrac{x^4}{2}-4x^2$

$\int_{-2}^{0}\left(2x^3-8x\right)dx=0-\left(\dfrac{16}{2}-16\right)=0-(-8)=8$

$\int_{0}^{2}\left(2x^3-8x\right)dx=\left(\dfrac{16}{2}-16\right)-0=-8$

$A=|8|+|-8|=16$

Las dos piezas tienen la misma área, lo que era previsible: tanto la cúbica como la recta son simétricas respecto del punto $(0,1)$.

El área comprendida entre la función y la recta es de $16$ unidades de área.