Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

A.2.- Un satélite de 2500 kg de masa gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de $3\cdot 10^{4}$ km de radio.

a) ¿Cuál será el valor de la gravedad en esa órbita?
b) ¿Cuánto vale la velocidad angular del satélite?
c) Si por alguna circunstancia la velocidad del satélite se anulara, éste empezaría a caer sobre la Tierra. ¿Con qué velocidad llegará a la superficie terrestre?

Datos:
Constante de gravitación universal: $G=6{,}67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$;
Radio de la Tierra: $R_T=6{,}37\cdot 10^{6}$ m; Masa de la Tierra: $M_T=5{,}97\cdot 10^{24}$ kg

El radio de la órbita, pasado al Sistema Internacional, es $r=3\cdot10^{4}\ \text{km}=3\cdot10^{7}\ \text{m}$, y se mide desde el centro de la Tierra.

$\textbf{a) ¿Cuál será el valor de la gravedad en esa órbita?}$

La gravedad en un punto es la intensidad del campo gravitatorio, es decir, la fuerza por unidad de masa. Igualando la segunda ley de Newton con la ley de gravitación universal, la masa del satélite se simplifica:

$m\,g=G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}\Rightarrow g=\dfrac{G\,M_T}{r^{2}}$

$g=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{\left(3\cdot10^{7}\right)^{2}}=0{,}44\ \text{m/s}^{2}$

A la altura de esa órbita la gravedad vale $0{,}44\ \text{m/s}^{2}$, apenas un cuatro y medio por ciento de la que hay en la superficie terrestre. Es también la aceleración normal del satélite.

$\textbf{b) ¿Cuánto vale la velocidad angular del satélite?}$

La atracción gravitatoria es la única fuerza sobre el satélite y hace de fuerza centrípeta. Escribiendo la aceleración normal en función de la velocidad angular:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=m\,\omega^{2}\,r\Rightarrow\omega=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r^{3}}}$

$\omega=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{\left(3\cdot10^{7}\right)^{3}}}=1{,}22\cdot10^{-4}\ \text{rad/s}$

La velocidad angular del satélite es de $1{,}22\cdot10^{-4}\ \text{rad/s}$, lo que corresponde a un periodo de $T=2\pi/\omega=5{,}17\cdot10^{4}\ \text{s}$, unas catorce horas y media.

$\textbf{c) Si por alguna circunstancia la velocidad del satélite se anulara, éste empezaría a caer sobre la Tierra. ¿Con qué velocidad llegará a la superficie terrestre?}$

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que la energía mecánica se conserva entre la posición inicial —en reposo a la altura de la órbita— y la llegada a la superficie. La masa del satélite vuelve a simplificarse.

$-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=\dfrac12\,m\,v^{2}-\dfrac{G\,M_T\,m}{R_T}$

$v=\sqrt{2\,G\,M_T\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{r}\right)}$

$v=\sqrt{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\left(\dfrac{1}{6{,}37\cdot10^{6}}-\dfrac{1}{3\cdot10^{7}}\right)}$

$v=9{,}92\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

El satélite llegaría a la superficie con una velocidad de $9{,}92\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, casi $10\ \text{km/s}$. Nótese que el resultado no depende de la masa del satélite y que es algo menor que la velocidad de escape desde la superficie terrestre, $11{,}2\ \text{km/s}$, como debe ser, puesto que la caída empieza a distancia finita y no en el infinito.