Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2020

A.4 (2 puntos). Un objeto está situado en una posición $s_1$ a la izquierda de una lente convergente de distancia focal $50\mathrm{m}\mathrm{m}$, de modo que forma una imagen real, invertida y de tamaño doble que el objeto. A continuación, el objeto se va moviendo hacia la lente hasta una posición $s_2$ en la que la imagen es virtual, derecha y de tamaño doble que la del objeto. Calcule:

a) La posición $s_1$ inicial del objeto y la distancia inicial entre la imagen y la lente. b) La posición $s_2$ final del objeto y la distancia final entre la imagen y la lente.

Trabajamos con una lente delgada convergente. Usamos el criterio de signos DIN habitual en la EVAU: la luz viaja de izquierda a derecha, las distancias se miden desde el centro óptico de la lente, y son positivas hacia la derecha (sentido de propagación) y negativas hacia la izquierda. En consecuencia, un objeto real situado a la izquierda tiene $s<0$, y la distancia focal imagen de una lente convergente es positiva.

Las dos ecuaciones que aplicaremos en todo el problema son la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

y el aumento lateral:

$M={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

donde $s$ es la posición del objeto, $s^{\mathrm{\prime }}$ la de la imagen y $f^{\mathrm{\prime }}$ la distancia focal imagen. El dato es:

$f^{\mathrm{\prime }}=50\mathrm{m}\mathrm{m}=\mathrm{0,05}\mathrm{m}$



La imagen es real, invertida y de tamaño doble. Que sea real e invertida significa que el aumento es negativo, y que sea de tamaño doble significa que su valor absoluto es $2$. Por tanto:

$M_1={\displaystyle \frac{s_1^{\mathrm{\prime }}}{s_1}}=-2\Rightarrow s_1^{\mathrm{\prime }}=-2s_1$

Sustituimos esta relación en la ecuación de las lentes para dejar una sola incógnita:

${\displaystyle \frac{1}{s_1^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s_1}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{-2s_1}}-{\displaystyle \frac{1}{s_1}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Operamos el primer miembro reduciendo a común denominador:

${\displaystyle \frac{-1-2}{2s_1}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{-3}{2s_1}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Despejando $s_1$:

$s_1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{f}^{\mathrm{\prime }}$

Sustituyendo el valor de la focal:

$s_1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot \mathrm{0,05}\mathrm{m}=-\mathrm{0,075}\mathrm{m}=-75\mathrm{m}\mathrm{m}$

El signo negativo confirma que el objeto está a la izquierda de la lente, como exige el enunciado. La posición de la imagen es:

$s_1^{\mathrm{\prime }}=-2s_1=-2\cdot (-75\mathrm{m}\mathrm{m})=+150\mathrm{m}\mathrm{m}$

El signo positivo indica que la imagen se forma a la derecha de la lente (es real, pues se forma donde realmente convergen los rayos), a una distancia de $150\mathrm{m}\mathrm{m}$. Por tanto:

$\boxed{{\displaystyle s_1=-75\mathrm{m}\mathrm{m}=-\mathrm{0,075}\mathrm{m}}}$

$\boxed{{\displaystyle s_1^{\mathrm{\prime }}=+150\mathrm{m}\mathrm{m}=+\mathrm{0,15}\mathrm{m}}}$

El objeto está a $75\mathrm{m}\mathrm{m}$ a la izquierda de la lente y la imagen real a $150\mathrm{m}\mathrm{m}$ a la derecha. El diagrama de rayos correspondiente es:





Ahora la imagen es virtual, derecha y de tamaño doble. Que sea derecha (no invertida) implica aumento positivo, y de tamaño doble implica valor $2$. Por tanto:

$M_2={\displaystyle \frac{s_2^{\mathrm{\prime }}}{s_2}}=+2\Rightarrow s_2^{\mathrm{\prime }}=2s_2$

Sustituimos de nuevo en la ecuación de las lentes:

${\displaystyle \frac{1}{s_2^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s_2}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2s_2}}-{\displaystyle \frac{1}{s_2}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Reducimos a común denominador:

${\displaystyle \frac{1-2}{2s_2}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{-1}{2s_2}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Despejando $s_2$:

$s_2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{\mathrm{\prime }}$

Sustituyendo el valor de la focal:

$s_2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{0,05}\mathrm{m}=-\mathrm{0,025}\mathrm{m}=-25\mathrm{m}\mathrm{m}$

El objeto se encuentra ahora a $25\mathrm{m}\mathrm{m}$ a la izquierda de la lente, es decir, entre el foco objeto y la lente ($\mathrm{\mid }{s}_2\mathrm{\mid }<f^{\mathrm{\prime }}$), que es precisamente la zona en la que una lente convergente actúa como lupa y forma imágenes virtuales, derechas y aumentadas. La posición de la imagen es:

$s_2^{\mathrm{\prime }}=2s_2=2\cdot (-25\mathrm{m}\mathrm{m})=-50\mathrm{m}\mathrm{m}$

El signo negativo indica que la imagen se forma a la izquierda de la lente, en el mismo lado que el objeto: es una imagen virtual, situada a $50\mathrm{m}\mathrm{m}$ de la lente. Por tanto:

$\boxed{{\displaystyle s_2=-25\mathrm{m}\mathrm{m}=-\mathrm{0,025}\mathrm{m}}}$

$\boxed{{\displaystyle s_2^{\mathrm{\prime }}=-50\mathrm{m}\mathrm{m}=-\mathrm{0,05}\mathrm{m}}}$

El objeto está a $25\mathrm{m}\mathrm{m}$ a la izquierda de la lente y la imagen virtual a $50\mathrm{m}\mathrm{m}$, también a la izquierda. El diagrama de rayos correspondiente es:



Observa la coherencia física: al acercar el objeto desde fuera del foco doble hacia el interior del foco, la lente pasa de dar una imagen real e invertida a una imagen virtual y derecha, exactamente como ocurre con una lupa.