Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2020

A.4 (2 puntos). Sobre la cara A de un prisma de material transparente incide perpendicularmente desde el aire un rayo de luz a una distancia de $5\mathrm{c}\mathrm{m}$ desde el vértice superior, cuyo ángulo es de ${30}^{\circ }$ (ver figura).

a) Calcule el tiempo que tarda el rayo en alcanzar la cara B, y el ángulo de emergencia al aire a través de dicha cara, si el material es un vidrio con un índice de refracción de $\mathrm{1,5}$.
b) ¿Emergerá el rayo por la cara B si el prisma es de diamante, cuyo índice de refracción es de $\mathrm{2,5}$? Razone la respuesta.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$; Índice de refracción del aire, $n_{aire}=1$.

$\mathbf{\text{A.4}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{prisma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{transparente}}\mathbf{\text{incide}}\mathbf{\text{perpendicularmente}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}5\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathbf{\text{superior,}}\mathbf{\text{cuyo}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}{30}^{\circ }\mathrm{.}$

Como el rayo incide perpendicularmente sobre la cara A, su dirección coincide con la normal a esa cara y entra en el prisma sin desviarse. Por tanto, dentro del material el rayo se propaga en línea recta y horizontal hasta alcanzar la cara inclinada B.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{B,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{emergencia}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{trav}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{cara,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{1,5}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Trabajamos con la geometría del prisma. El vértice superior tiene un ángulo de ${30}^{\circ }$ entre la cara A (vertical) y la cara B (inclinada). El rayo entra por A a una profundidad $d=5\mathrm{c}\mathrm{m}$ por debajo del vértice y avanza horizontalmente. El camino recorrido dentro del prisma, $L$, es el cateto horizontal del triángulo rectángulo de cateto vertical $d$ y ángulo ${30}^{\circ }$ en el vértice:

$L=d\cdot \tan {30}^{\circ }=5\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \tan {30}^{\circ }=5\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{0,5774}=\mathrm{2,89}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{2,89}\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}$

La velocidad de la luz en el vidrio se obtiene a partir del índice de refracción:

$v={\displaystyle \frac{c}{n}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}}{\mathrm{1,5}}}=2\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$

Como dentro del medio el movimiento es rectilíneo y uniforme, el tiempo empleado es:

$t={\displaystyle \frac{L}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,89}\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}}{2\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}}}=\mathrm{1,44}\cdot {10}^{-10}\mathrm{s}$

$\boxed{{\displaystyle t=\mathrm{1,44}\cdot {10}^{-10}\mathrm{s}}}$

Para el ángulo de emergencia necesitamos primero el ángulo de incidencia sobre la cara B, medido respecto a la normal a dicha cara. El rayo viaja horizontal; la cara B forma ${30}^{\circ }$ con la cara A (vertical), de modo que su normal forma ${30}^{\circ }$ con la horizontal. El ángulo entre el rayo horizontal y la normal a B es, por tanto:

${\theta }_i={30}^{\circ }$

Aplicamos la ley de Snell en la cara B (paso vidrio $\to$ aire):

$n_{vidrio}\cdot \mathrm{sen}{\theta }_i=n_{aire}\cdot \mathrm{sen}{\theta }_e$

Despejando el ángulo de emergencia ${\theta }_e$ y sustituyendo los valores:

$\mathrm{sen}{\theta }_e={\displaystyle \frac{n_{vidrio}\cdot \mathrm{sen}{\theta }_i}{n_{aire}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{sen}{30}^{\circ }}{1}}=\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,75}$

${\theta }_e=\mathrm{arcsen}(\mathrm{0,75})={\mathrm{48,6}}^{\circ }$

Como $\mathrm{sen}{\theta }_e=\mathrm{0,75}<1$, el rayo sí emerge al aire. En efecto, el ángulo límite del vidrio es ${\theta }_L=\mathrm{arcsen}(1\mathrm{/}\mathrm{1,5})={\mathrm{41,8}}^{\circ }$, y como ${30}^{\circ }<{\mathrm{41,8}}^{\circ }$ hay refracción y no reflexión total.

$\boxed{{\displaystyle {\theta }_e\approx {\mathrm{48,6}}^{\circ }}}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Emerger}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prisma}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{diamante,}}\mathbf{\text{cuyo}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{2,5}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El rayo sigue incidiendo sobre la cara B con el mismo ángulo ${\theta }_i={30}^{\circ }$ (la geometría del prisma no cambia). Para que el rayo emerja al aire debe cumplirse la ley de Snell con $\mathrm{sen}{\theta }_e\le 1$. Calculamos el ángulo límite (o ángulo crítico) del diamante, que es el ángulo de incidencia para el cual el rayo refractado sale rasante (${\theta }_e={90}^{\circ }$):

$n_{diamante}\cdot \mathrm{sen}{\theta }_L=n_{aire}\cdot \mathrm{sen}{90}^{\circ }$

$\mathrm{sen}{\theta }_L={\displaystyle \frac{n_{aire}}{n_{diamante}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,5}}}=\mathrm{0,4}$

${\theta }_L=\mathrm{arcsen}(\mathrm{0,4})={\mathrm{23,6}}^{\circ }$

Comparamos el ángulo de incidencia con el ángulo límite:

${\theta }_i={30}^{\circ }>{\theta }_L={\mathrm{23,6}}^{\circ }$

Como el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite, se produce reflexión total interna y el rayo no se refracta hacia el aire. Lo confirmamos al intentar aplicar la ley de Snell:

$\mathrm{sen}{\theta }_e={\displaystyle \frac{n_{diamante}\cdot \mathrm{sen}{\theta }_i}{n_{aire}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{sen}{30}^{\circ }}{1}}=\mathrm{1,25}>1$

Un seno mayor que la unidad carece de solución real, lo que indica que no existe rayo refractado.

Por tanto, en el prisma de diamante el rayo NO emerge por la cara B: sufre reflexión total interna.

$\boxed{{\displaystyle \text{No emerge: }{\theta }_i={30}^{\circ }>{\theta }_L={\mathrm{23,6}}^{\circ }\Rightarrow \text{reflexi}\acute{\text{o}}\text{n total interna}}}$