Ejercicio resuelto de Simetría de funciones · Matemáticas 4 ESO

Hallar la posible simetría de las siguientes funciones:

a) $y={\displaystyle \frac{2x^3}{x^2+1}}$
b) $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+6}}$
c) $y={\displaystyle \frac{3x}{2x^2-1}}$
d) $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x-5}}$
e) $y={\displaystyle \frac{5x^2}{x-1}}$
f) $f(x)=x+{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2+3}}$
g) $y={\displaystyle \frac{\sqrt{x-2}}{x^2+3}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Se le pone nombre a la función, para poder escribir la comparación:
$f(x)={\displaystyle \frac{2x^3}{x^2+1}}$
Se sustituye la $x$ por $-x$ en la fórmula, y al final el menos del numerador se saca fuera de la fracción:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2{(-x)}^3}{{(-x)}^2+1}}={\displaystyle \frac{-2x^3}{x^2+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{2x^3}{x^2+1}}}\end{array}$
No ha salido la fórmula de partida: le ha cambiado el signo. Se escribe $-f(x)$ para compararlo:
$-f(x)=-{\displaystyle \frac{2x^3}{x^2+1}}$
La condición que hay que mirar es:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=-f(x)\Rightarrow \text{ impar}}}$
y aquí se cumple:
$f(-x)=-{\displaystyle \frac{2x^3}{x^2+1}}=-f(x)$
Luego la función es impar, y su gráfica es simétrica respecto del origen.


$\mathbf{\text{b)}}$ Se sustituye la $x$ por $-x$ en la fórmula:
$f(-x)={\displaystyle \frac{{(-x)}^2}{{(-x)}^2+6}}={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+6}}$
Ha salido exactamente la fórmula de partida. La condición que hay que mirar es:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=f(x)\Rightarrow \text{ par}}}$
y aquí se cumple:
$f(-x)={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+6}}=f(x)$
Luego la función es par, y su gráfica es simétrica respecto del eje $Y$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Se le pone nombre a la función, para poder escribir la comparación:
$f(x)={\displaystyle \frac{3x}{2x^2-1}}$
Se sustituye la $x$ por $-x$ en la fórmula, y al final el menos del numerador se saca fuera de la fracción:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3(-x)}{2{(-x)}^2-1}}={\displaystyle \frac{-3x}{2x^2-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{3x}{2x^2-1}}}\end{array}$
No ha salido la fórmula de partida: le ha cambiado el signo. Se escribe $-f(x)$ para compararlo:
$-f(x)=-{\displaystyle \frac{3x}{2x^2-1}}$
La condición que hay que mirar es:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=-f(x)\Rightarrow \text{ impar}}}$
y aquí se cumple:
$f(-x)=-{\displaystyle \frac{3x}{2x^2-1}}=-f(x)$
Luego la función es impar, y su gráfica es simétrica respecto del origen.


$\mathbf{\text{d)}}$ Se sustituye la $x$ por $-x$ en la fórmula, y al final los dos menos, el de arriba y el de abajo, se van juntos:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-x}{-x-5}}={\displaystyle \frac{-x}{-(x+5)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x}{x+5}}}\end{array}$
Para que fuera par tendría que cumplirse:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=f(x)\Rightarrow \text{ par}}}$
pero las dos fórmulas no son la misma:
$f(-x)={\displaystyle \frac{x}{x+5}}$
$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x-5}}$
Se ve con un valor concreto, $x=1$:
$f(-1)={\displaystyle \frac{-1}{-1-5}}={\displaystyle \frac{-1}{-6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
$f(1)={\displaystyle \frac{1}{1-5}}={\displaystyle \frac{1}{-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$
y esos dos valores no coinciden, así que la función no es par.
Y para que fuera impar tendría que cumplirse:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=-f(x)\Rightarrow \text{ impar}}}$
pero $-f(x)$ tampoco coincide con $f(-x)$:
$-f(x)=-{\displaystyle \frac{x}{x-5}}$
Con el mismo valor de antes daría
$-f(1)={\displaystyle \frac{1}{4}}$
que no es lo que vale $f(-1)$.
Así que la función no tiene simetría par ni impar.


$\mathbf{\text{e)}}$ Se le pone nombre a la función, para poder escribir la comparación:
$f(x)={\displaystyle \frac{5x^2}{x-1}}$
Se sustituye la $x$ por $-x$ en la fórmula, y al final el menos del denominador se saca fuera de la fracción:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5{(-x)}^2}{-x-1}}={\displaystyle \frac{5x^2}{-x-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5x^2}{-(x+1)}}=-{\displaystyle \frac{5x^2}{x+1}}}\end{array}$
Para que fuera par tendría que cumplirse:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=f(x)\Rightarrow \text{ par}}}$
pero las dos fórmulas no son la misma:
$f(-x)=-{\displaystyle \frac{5x^2}{x+1}}$
$f(x)={\displaystyle \frac{5x^2}{x-1}}$
Se ve con un valor concreto, $x=2$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-2)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5{(-2)}^2}{-2-1}}={\displaystyle \frac{20}{-2-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{20}{-3}}=-{\displaystyle \frac{20}{3}}}\end{array}$
$f(2)={\displaystyle \frac{5\cdot 2^2}{2-1}}={\displaystyle \frac{20}{2-1}}=20$
y esos dos valores no coinciden, así que la función no es par.
Y para que fuera impar tendría que cumplirse:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=-f(x)\Rightarrow \text{ impar}}}$
pero $-f(x)$ tampoco coincide con $f(-x)$:
$-f(x)=-{\displaystyle \frac{5x^2}{x-1}}$
Con el mismo valor de antes daría
$-f(2)=-20$
que no es lo que vale $f(-2)$.
Así que la función no tiene simetría par ni impar.


$\mathbf{\text{f)}}$ Se sustituye la $x$ por $-x$ en la fórmula:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-x)}& {\displaystyle =-x+{\displaystyle \frac{{(-x)}^2+1}{{(-x)}^2+3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-x+{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2+3}}}\end{array}$
Para que fuera par tendría que cumplirse:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=f(x)\Rightarrow \text{ par}}}$
pero las dos fórmulas no son la misma:
$f(-x)=-x+{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2+3}}$
$f(x)=x+{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2+3}}$
Se ve con un valor concreto, $x=1$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-1)}& {\displaystyle =-1+{\displaystyle \frac{{(-1)}^2+1}{{(-1)}^2+3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-1+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}$
$f(1)=1+{\displaystyle \frac{1^2+1}{1^2+3}}=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$
y esos dos valores no coinciden, así que la función no es par.
Y para que fuera impar tendría que cumplirse:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=-f(x)\Rightarrow \text{ impar}}}$
pero $-f(x)$ tampoco coincide con $f(-x)$:
$-f(x)=-x-{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2+3}}$
Con el mismo valor de antes daría
$-f(1)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$
que no es lo que vale $f(-1)$.
Así que la función no tiene simetría par ni impar.


$\mathbf{\text{g)}}$ Se le pone nombre a la función, para poder escribir la comparación:
$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x-2}}{x^2+3}}$
Antes de sustituir conviene mirar el dominio, porque la raíz solo existe si el radicando no es negativo:
$x-2\ge 0$
$x\ge 2$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=[2,+\mathrm{\infty })$
Y ese dominio no es simétrico: $x=3$ está dentro, pero $x=-3$ no. Para comparar $f(-x)$ con $f(x)$ hace falta que cuando un valor esté, esté también su opuesto, y aquí no pasa.
Aun así se sustituye, para verlo:
$f(-x)={\displaystyle \frac{\sqrt{-x-2}}{{(-x)}^2+3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{-x-2}}{x^2+3}}$
Para que fuera par tendría que cumplirse:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=f(x)\Rightarrow \text{ par}}}$
pero $f(-x)$ solo existe cuando $-x-2\ge 0$, es decir para $x\le -2$, y $f(x)$ solo para $x\ge 2$. No hay ni un punto donde comparar las dos.
Y para que fuera impar:
$\boxed{{\displaystyle f(-x)=-f(x)\Rightarrow \text{ impar}}}$
con $-f(x)$ pasa lo mismo, porque tiene el dominio de $f(x)$.
Así que la función no tiene simetría par ni impar.