Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · País Vasco · 2026

Problema, BLOQUE D: Física Nuclear y de Partículas
Este bloque consta de 2 problemas. Debes responder solo a uno.
D2.- La masa de un núcleo de $^{239}\mathrm{Pu}$ (plutonio) es 239.05 u y su periodo de semidesintegración es 24200 años. Determina:

a) La constante de desintegración $\lambda$. (0.50 puntos)
b) La actividad de una muestra de 1.0 mg de $^{239}\mathrm{Pu}$. (1.00 punto)
c) El tiempo necesario para que quede el 25\% de los núcleos de la muestra anterior. (1.00 punto)

$\textbf{a) La constante de desintegración } \boldsymbol{\lambda}\textbf{. (0.50 puntos)}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda una muestra en reducirse a la mitad. Imponiéndolo en la ley de desintegración se obtiene su relación con la constante de desintegración:

$N(t)=N_0e^{-\lambda t}\Rightarrow \dfrac{N_0}{2}=N_0e^{-\lambda T_{1/2}}$

$\ln\dfrac12=-\lambda T_{1/2}\Rightarrow \lambda=\dfrac{\ln2}{T_{1/2}}$

Antes de sustituir hay que pasar el periodo a segundos, porque la actividad se mide en desintegraciones por segundo:

$T_{1/2}=24200\ \text{años}\cdot3{,}16\times10^{7}\ \text{s/año}=7{,}65\times10^{11}\ \mathrm{s}$

$\lambda=\dfrac{0{,}693}{7{,}65\times10^{11}}=9{,}06\times10^{-13}\ \mathrm{s^{-1}}$

La constante de desintegración del plutonio-239 vale $9{,}06\times10^{-13}\ \mathrm{s^{-1}}$.

$\textbf{b) La actividad de una muestra de 1.0 mg de plutonio-239. (1.00 punto)}$

La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, y es proporcional al número de núcleos presentes:

$A=\lambda N$

Hace falta, por tanto, contar cuántos núcleos hay en 1,0 mg. La masa de un solo núcleo se obtiene pasando de unidades de masa atómica a kilogramos:

$m_{\text{núcleo}}=239{,}05\ \mathrm{u}\cdot1{,}66\times10^{-27}\ \mathrm{kg/u}=3{,}97\times10^{-25}\ \mathrm{kg}$

$N=\dfrac{1{,}0\times10^{-6}}{3{,}97\times10^{-25}}=2{,}52\times10^{18}\ \text{núcleos}$

$A=9{,}06\times10^{-13}\cdot2{,}52\times10^{18}=2{,}28\times10^{6}\ \mathrm{Bq}$

La actividad de la muestra es de $2{,}28\times10^{6}$ becquerelios, es decir, algo más de dos millones de desintegraciones por segundo.

$\textbf{c) El tiempo necesario para que quede el 25\% de los núcleos de la muestra anterior. (1.00 punto)}$

Que quede el 25 % es lo mismo que decir que quede la cuarta parte, y reducirse a la cuarta parte es reducirse a la mitad dos veces seguidas. El tiempo pedido es, por tanto, el doble del periodo de semidesintegración.



Se comprueba con la ley de desintegración:

$0{,}25\,N_0=N_0e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln0{,}25=-\lambda t$

$t=\dfrac{-\ln0{,}25}{\lambda}=\dfrac{1{,}386}{9{,}06\times10^{-13}}=1{,}53\times10^{12}\ \mathrm{s}$

Expresado en años, que es la unidad en la que da el dato el enunciado:

$t=\dfrac{1{,}53\times10^{12}}{3{,}16\times10^{7}}=4{,}84\times10^{4}\ \text{años}$

Han de transcurrir $4{,}84\times10^{4}$ años, esto es, 48.400 años, que son exactamente dos periodos de semidesintegración.