Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2026

Problema, BLOQUE C: Vibraciones y Ondas, y Óptica
Este bloque consta de 2 problemas. Debes responder solo a uno.
C1.- Una masa $m$=0.30 kg se encuentra sobre un plano horizontal sin rozamiento unida a un muelle horizontal. El sistema describe un movimiento vibratorio armónico. La energía cinética máxima de la masa es $K_{\text{máx}}$=15 J.
Se sabe que la distancia entre las dos posiciones extremas (aquellas en las que la velocidad de la masa es nula) es de 50 cm.

a) Calcula la amplitud $A$ del movimiento, la frecuencia angular $\omega$ y el período $T$. (1.00 punto)
b) Determina la constante elástica $k$ del muelle. (0.50 puntos)
c) Determina la posición, la velocidad y la aceleración de la masa en el instante $t$=3 s, sabiendo que en $t$=0 la masa tiene su energía cinética máxima y se mueve en el sentido positivo del eje $x$. (1.00 punto)

$\textbf{a) Calcula la amplitud } \boldsymbol{A}\textbf{ del movimiento, la frecuencia angular } \boldsymbol{\omega}\textbf{ y el período } \boldsymbol{T}\textbf{. (1.00 punto)}$

Las posiciones extremas de un movimiento armónico simple son aquellas en las que la elongación vale $+A$ y $-A$, así que la distancia entre ambas es el doble de la amplitud:

$2A=50\ \mathrm{cm}=0{,}50\ \mathrm{m}$

$A=0{,}25\ \mathrm{m}$



La energía cinética es máxima al pasar por la posición de equilibrio, donde la velocidad vale $v_{\text{máx}}=A\omega$. De ahí se despeja la frecuencia angular:

$K_{\text{máx}}=\dfrac12mv_{\text{máx}}^2=\dfrac12mA^2\omega^2$

$15=\dfrac12\cdot0{,}30\cdot0{,}25^2\cdot\omega^2=9{,}375\times10^{-3}\,\omega^2$

$\omega^2=1600\Rightarrow \omega=40\ \mathrm{rad/s}$

El período es el tiempo de una oscilación completa:

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{40}=0{,}157\ \mathrm{s}$

La amplitud es de $0{,}25$ m, la frecuencia angular de $40$ rad/s y el período, de $0{,}157$ s.

$\textbf{b) Determina la constante elástica } \boldsymbol{k}\textbf{ del muelle. (0.50 puntos)}$

En un oscilador formado por una masa y un muelle, la frecuencia angular relaciona la constante elástica con la masa:

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\Rightarrow k=m\omega^2$

$k=0{,}30\cdot1600=480\ \mathrm{N/m}$

La constante elástica del muelle es de $480$ N/m.

$\textbf{c) Determina la posición, la velocidad y la aceleración de la masa en el instante } \boldsymbol{t=3\ \mathrm{s}}\textbf{. (1.00 punto)}$

Primero hay que fijar la fase inicial con la condición del enunciado. En $t=0$ la energía cinética es máxima, luego la masa está en la posición de equilibrio, $x(0)=0$, y se mueve en el sentido positivo. Escribiendo la elongación como un seno:

$x(t)=A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi_0)$

$x(0)=A\operatorname{sen}\varphi_0=0\Rightarrow \varphi_0=0\ \text{o}\ \varphi_0=\pi$

$v(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi_0)\Rightarrow v(0)=A\omega\cos\varphi_0>0\Rightarrow \varphi_0=0$

Las tres ecuaciones del movimiento quedan así:

$x(t)=0{,}25\operatorname{sen}(40t)$

$v(t)=10\cos(40t)$

$a(t)=-400\operatorname{sen}(40t)$

En $t=3$ s la fase vale $40\cdot3=120$ radianes. Restando vueltas completas, $120-19\cdot2\pi=0{,}619$ rad, con lo que:

$\operatorname{sen}(120\ \mathrm{rad})=0{,}581,\qquad \cos(120\ \mathrm{rad})=0{,}814$

$x(3)=0{,}25\cdot0{,}581=0{,}145\ \mathrm{m}$

$v(3)=10\cdot0{,}814=8{,}14\ \mathrm{ms^{-1}}$

$a(3)=-400\cdot0{,}581=-232\ \mathrm{ms^{-2}}$

A los 3 segundos la masa está a $0{,}145$ m del equilibrio, se aleja de él con una velocidad de $8{,}14\ \mathrm{ms^{-1}}$ y su aceleración, de $-232\ \mathrm{ms^{-2}}$, apunta hacia el equilibrio, como corresponde a un movimiento armónico simple.