Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Problema, BLOQUE A: Campo Gravitatorio
Este bloque consta de 1 problema. No tiene opcionalidad.
A1.- Una sonda de masa $m$=420 kg orbita Marte en dos fases: una órbita baja de cartografía, $h_1$=250 km; y una órbita alta de comunicaciones, $h_2$=6000 km. Las distancias se miden desde la superficie marciana.

a) Deduce, a partir de la ley de la gravitación universal y de la condición de órbita circular, la expresión para el período orbital $T=2\pi\sqrt{r^3/\mu}$, donde $\mu=GM_M$. Indica las hipótesis del modelo. (0.50 puntos)
b) (1.00 punto)
b.1) Calcula la intensidad del campo gravitatorio $g(h_1)$, y exprésala como fracción de $g_0$=9.8 ms⁻² (valor en la superficie terrestre). (0.25 puntos)
b.2) Calcula la velocidad orbital y el periodo para $h_1$=250 km. (0.50 puntos)
b.3) Razona, sin cálculos numéricos, si la velocidad y el período para $h_2$=6000 km serán mayores o menores que para $h_1$. Justifica tu respuesta usando $v\propto r^{-1/2}$ y $T\propto r^{3/2}$. (0.25 puntos)
c) La tabla recoge datos orbitales de 4 objetos en torno a Marte: (1.00 punto)

Objeto	$r\ (10^6\,\mathrm{m})$	$T\ (10^3\,\mathrm{s})$ A	3.70	6.85 B	9.50	28.2 C	20.4	88.6 D	6.30	20.0

c.1) Comprueba si $T^2/r^3$ es aproximadamente constante y estima la masa de Marte. (0.50 puntos)
c.2) Identifica el objeto que no se ajusta a la relación $T^2/r^3$. (0.25 puntos)
c.3) Usa la constante $T^2/r^3$ obtenida para predecir el periodo orbital para una órbita circular de radio $r$=1.50×10⁷ m alrededor de Marte. (0.25 puntos)

DATOS Y CONSTANTES FÍSICAS

$G=6{.}67\times10^{-11}\ \mathrm{Nm^2kg^{-2}}$	$c=3{.}00\times10^{8}\ \mathrm{ms^{-1}}$	$h=6{.}63\times10^{-34}\ \mathrm{Js}$	$1\ \text{año}=3{.}16\times10^{7}\ \mathrm{s}$ $M_M=6{.}39\times10^{23}\ \mathrm{kg}$	$q_e=1{.}60\times10^{-19}\ \mathrm{C}$	$m_e=9{.}11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$	$K=9{.}00\times10^{9}\ \mathrm{Nm^2C^{-2}}$ $1\ \mathrm{UA}=1{.}50\times10^{11}\ \mathrm{m}$	$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{TmA^{-1}}$	$1\ \mathrm{u}=1{.}66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$	$1\ \mathrm{u}=931{.}5\ \mathrm{MeV}/c^2$ $R_M=3{.}39\times10^{6}\ \mathrm{m}$	$N_A=6{.}02\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$

$\textbf{a) Deduce, a partir de la ley de la gravitación universal y de la condición de órbita circular, la expresión para el período orbital. Indica las hipótesis del modelo. (0.50 puntos)}$

El modelo supone que la sonda describe una órbita circular de radio $r$ alrededor de Marte, que Marte es una esfera homogénea (y por tanto se comporta como una masa puntual situada en su centro), que la única fuerza que actúa sobre la sonda es la atracción gravitatoria marciana y que la masa de la sonda es despreciable frente a la del planeta, de modo que este permanece en reposo.

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta que curva la trayectoria:

$F_g=F_c$

$G\dfrac{M_M\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$

La masa de la sonda se cancela, lo que explica que la órbita no dependa de ella:

$v^2=\dfrac{GM_M}{r}=\dfrac{\mu}{r}$

El movimiento es circular uniforme, así que la velocidad es el perímetro de la circunferencia dividido entre el período:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$

Sustituyendo e igualando:

$\dfrac{4\pi^2r^2}{T^2}=\dfrac{\mu}{r}\Rightarrow T^2=\dfrac{4\pi^2r^3}{\mu}$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{\mu}}$



$\textbf{b.1) Calcula la intensidad del campo gravitatorio } \boldsymbol{g(h_1)}\textbf{, y exprésala como fracción de } \boldsymbol{g_0=9{,}8\ \mathrm{ms^{-2}}}\textbf{. (0.25 puntos)}$

El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta, así que hay que sumar el radio de Marte a la altura sobre su superficie:

$r_1=R_M+h_1=3{,}39\times10^{6}+0{,}25\times10^{6}=3{,}64\times10^{6}\ \mathrm{m}$

$g(h_1)=\dfrac{GM_M}{r_1^2}=\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot6{,}39\times10^{23}}{\left(3{,}64\times10^{6}\right)^2}$

$g(h_1)=\dfrac{4{,}26\times10^{13}}{1{,}32\times10^{13}}=3{,}22\ \mathrm{ms^{-2}}$

Comparándola con la gravedad terrestre en superficie:

$\dfrac{g(h_1)}{g_0}=\dfrac{3{,}22}{9{,}8}=0{,}33$

El campo gravitatorio en la órbita baja vale $3{,}22\ \mathrm{ms^{-2}}$, aproximadamente un tercio de $g_0$.

$\textbf{b.2) Calcula la velocidad orbital y el periodo para } \boldsymbol{h_1=250\ \mathrm{km}}\textbf{. (0.50 puntos)}$

Se aplican las dos expresiones deducidas en el apartado (a):

$v_1=\sqrt{\dfrac{\mu}{r_1}}=\sqrt{\dfrac{4{,}26\times10^{13}}{3{,}64\times10^{6}}}=\sqrt{1{,}17\times10^{7}}$

$v_1=3{,}42\times10^{3}\ \mathrm{ms^{-1}}$

$T_1=\dfrac{2\pi r_1}{v_1}=\dfrac{2\pi\cdot3{,}64\times10^{6}}{3{,}42\times10^{3}}=6{,}68\times10^{3}\ \mathrm{s}$

La sonda orbita a $3{,}42\ \mathrm{km/s}$ y tarda $6{,}68\times10^{3}$ segundos en dar una vuelta, algo menos de dos horas.

$\textbf{b.3) Razona, sin cálculos numéricos, si la velocidad y el período para } \boldsymbol{h_2=6000\ \mathrm{km}}\textbf{ serán mayores o menores que para } \boldsymbol{h_1}\textbf{. (0.25 puntos)}$

La órbita alta tiene mayor radio, porque la altura sobre la superficie es mayor:

$r_2=R_M+h_2=3{,}39\times10^{6}+6{,}00\times10^{6}=9{,}39\times10^{6}\ \mathrm{m}>r_1$

Las dos dependencias que da el enunciado se leen directamente:

$v\propto r^{-1/2}$

Al ser el exponente negativo, la velocidad disminuye cuando crece el radio: en la órbita alta la sonda va más despacio.

$T\propto r^{3/2}$

Aquí el exponente es positivo, así que el período aumenta con el radio: la sonda tarda más en completar una vuelta.

En la órbita de comunicaciones la velocidad orbital es menor y el período, mayor que en la de cartografía.

$\textbf{c.1) Comprueba si } \boldsymbol{T^2/r^3}\textbf{ es aproximadamente constante y estima la masa de Marte. (0.50 puntos)}$

La tercera ley de Kepler afirma que ese cociente es el mismo para todos los cuerpos que orbitan un mismo astro. Se calcula objeto por objeto, con los datos en unidades del SI:

$\text{A}:\ \dfrac{\left(6{,}85\times10^{3}\right)^2}{\left(3{,}70\times10^{6}\right)^3}=9{,}26\times10^{-13}\ \mathrm{s^2m^{-3}}$

$\text{B}:\ \dfrac{\left(2{,}82\times10^{4}\right)^2}{\left(9{,}50\times10^{6}\right)^3}=9{,}28\times10^{-13}\ \mathrm{s^2m^{-3}}$

$\text{C}:\ \dfrac{\left(8{,}86\times10^{4}\right)^2}{\left(2{,}04\times10^{7}\right)^3}=9{,}25\times10^{-13}\ \mathrm{s^2m^{-3}}$

$\text{D}:\ \dfrac{\left(2{,}00\times10^{4}\right)^2}{\left(6{,}30\times10^{6}\right)^3}=1{,}60\times10^{-12}\ \mathrm{s^2m^{-3}}$

Los tres primeros coinciden dentro del error de los datos; el cuarto se sale claramente. Tomando el promedio de los tres que sí cumplen la ley:

$\dfrac{T^2}{r^3}=9{,}26\times10^{-13}\ \mathrm{s^2m^{-3}}$

De la expresión del período deducida en el apartado (a) se despeja la masa del planeta:

$T^2=\dfrac{4\pi^2r^3}{GM_M}\Rightarrow \dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_M}$

$M_M=\dfrac{4\pi^2}{G\cdot\left(T^2/r^3\right)}=\dfrac{4\pi^2}{6{,}67\times10^{-11}\cdot9{,}26\times10^{-13}}$

$M_M=6{,}39\times10^{23}\ \mathrm{kg}$

El cociente es constante para tres de los cuatro objetos y conduce a una masa de Marte de $6{,}39\times10^{23}$ kg, que coincide con el dato de la tabla de constantes.

$\textbf{c.2) Identifica el objeto que no se ajusta a la relación } \boldsymbol{T^2/r^3}\textbf{. (0.25 puntos)}$

Comparando los cuatro valores obtenidos, el del objeto D es casi el doble que los otros tres, que sí coinciden entre sí.

El objeto que no se ajusta a la tercera ley de Kepler es el D.

$\textbf{c.3) Usa la constante } \boldsymbol{T^2/r^3}\textbf{ obtenida para predecir el periodo orbital para una órbita circular de radio } \boldsymbol{r=1{,}50\times10^{7}\ \mathrm{m}}\textbf{. (0.25 puntos)}$

Basta despejar el período de la propia constante:

$T=\sqrt{\dfrac{T^2}{r^3}\cdot r^3}=\sqrt{9{,}26\times10^{-13}\cdot\left(1{,}50\times10^{7}\right)^3}$

$T=\sqrt{9{,}26\times10^{-13}\cdot3{,}375\times10^{21}}=\sqrt{3{,}13\times10^{9}}$

$T=5{,}59\times10^{4}\ \mathrm{s}$

Un objeto en órbita circular de radio $1{,}50\times10^{7}$ m alrededor de Marte tardaría $5{,}59\times10^{4}$ segundos, unas 15,5 horas, en completar una vuelta.