Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 4. (2 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 4B) Sea el sistema lineal dependiente del parámetro real $b$:

$\begin{cases}x+y+z=6\\2x+by+z=b+3\\x+y+bz=4\end{cases}$

(a) (0,5 puntos) Escribe el sistema en forma matricial y calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro $b$.
(b) (0,25 puntos) Di para qué valores de $b$ la matriz de coeficientes es invertible.
(c) (0,75 puntos) Estudia el sistema según los valores de $b$, indicando cuándo tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución.
(d) (0,5 puntos) Resuelve el sistema para $b=0$.

$\textbf{(a) (0,5 puntos) Escribe el sistema en forma matricial y calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro } \boldsymbol{b}\textbf{.}$

La forma matricial de un sistema separa los coeficientes, las incógnitas y los términos independientes en tres matrices:

$\begin{pmatrix}1&1&1\\2&b&1\\1&1&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\b+3\\4\end{pmatrix}$

El determinante de la matriz de coeficientes se calcula desarrollando por la primera fila:

$|M|=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&b&1\\1&1&b\end{vmatrix}=1\cdot(b\cdot b-1\cdot1)-1\cdot(2\cdot b-1\cdot1)+1\cdot(2\cdot1-b\cdot1)$

$|M|=b^2-1-2b+1+2-b=b^2-3b+2$

$|M|=(b-1)(b-2)$

$\textbf{(b) (0,25 puntos) Di para qué valores de } \boldsymbol{b}\textbf{ la matriz de coeficientes es invertible.}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero:

$(b-1)(b-2)\ne0\Rightarrow b\ne1\ \text{y}\ b\ne2$

La matriz de coeficientes es invertible para cualquier valor real de $b$ salvo $b=1$ y $b=2$.

$\textbf{(c) (0,75 puntos) Estudia el sistema según los valores de } \boldsymbol{b}\textbf{, indicando cuándo tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución.}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas, que es 3.

i) Si $b\ne1$ y $b\ne2$, el determinante no se anula, de modo que los dos rangos valen 3:

$\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M^*)=3=n\Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

ii) Si $b=1$, el sistema queda así:

$\begin{cases}x+y+z=6\\2x+y+z=4\\x+y+z=4\end{cases}$

La primera y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro y distinto término independiente, luego se contradicen. Formalmente, el rango de la matriz de coeficientes es 2, porque hay un menor de orden dos no nulo:

$\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=-1\ne0$

y el de la ampliada es 3, porque este menor de orden tres no se anula:

$\begin{vmatrix}1&1&6\\2&1&4\\1&1&4\end{vmatrix}=2\ne0$

$\operatorname{rg}(M)=2\ne\operatorname{rg}(M^*)=3\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

iii) Si $b=2$, el sistema queda así:

$\begin{cases}x+y+z=6\\2x+2y+z=5\\x+y+2z=4\end{cases}$

Restando a la segunda ecuación el doble de la primera se obtiene un valor de $z$, y restando a la tercera la primera, otro distinto:

$-z=5-12\Rightarrow z=7$

$z=4-6\Rightarrow z=-2$

Las dos conclusiones son incompatibles, así que el sistema tampoco tiene solución en este caso.

En resumen: el sistema es compatible determinado, con solución única, para todo $b\ne1$ y $b\ne2$, y es incompatible para $b=1$ y para $b=2$. No hay ningún valor del parámetro que dé infinitas soluciones.

$\textbf{(d) (0,5 puntos) Resuelve el sistema para } \boldsymbol{b=0}\textbf{.}$

Como $b=0$ no es ninguno de los dos valores problemáticos, el sistema es compatible determinado. Sustituyendo:

$\begin{cases}x+y+z=6\\2x+z=3\\x+y=4\end{cases}$

De la tercera ecuación se despeja $y$ y se lleva a la primera:

$y=4-x$

$x+(4-x)+z=6\Rightarrow z=2$

Con ese valor, la segunda ecuación da la incógnita que falta:

$2x+2=3\Rightarrow x=\dfrac12$

$y=4-\dfrac12=\dfrac72$

La solución del sistema para $b=0$ es $x=\dfrac12$, $y=\dfrac72$, $z=2$.