Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 4. (2 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 4A) Se considera la matriz dependiente del parámetro real $a$:

$A=\begin{pmatrix}a&1\\2&1\end{pmatrix}$

(a) (0,5 puntos) Calcula la matriz traspuesta de A y el determinante de A en función de $a$.
(b) (0,5 puntos) Determina los valores de $a$ para los que existe la matriz inversa de A y calcula dicha matriz cuando exista.
(c) (0,5 puntos) Resuelve la ecuación matricial $AX+B=I$, donde $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}$, indicando para qué valores de $a$ tiene solución.
(d) (0,5 puntos) Para $a=3$ calcula la matriz $C=A^{-1}B^tA$, donde $B^t$ denota la traspuesta de $B$.

$\textbf{(a) (0,5 puntos) Calcula la matriz traspuesta de A y el determinante de A en función de } \boldsymbol{a}\textbf{.}$

La traspuesta se obtiene intercambiando filas por columnas:

$A=\begin{pmatrix}a&1\\2&1\end{pmatrix}\Rightarrow A^t=\begin{pmatrix}a&2\\1&1\end{pmatrix}$

El determinante de una matriz de orden dos es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria:

$|A|=\begin{vmatrix}a&1\\2&1\end{vmatrix}=a\cdot1-1\cdot2=a-2$

$\textbf{(b) (0,5 puntos) Determina los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para los que existe la matriz inversa de A y calcula dicha matriz cuando exista.}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo:

$|A|\ne0\Rightarrow a-2\ne0\Rightarrow a\ne2$

Para calcular la inversa se usa la fórmula que la expresa mediante la adjunta de la traspuesta:

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left(\operatorname{Adj}A\right)^t$

$\operatorname{Adj}A=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&a\end{pmatrix}\Rightarrow\left(\operatorname{Adj}A\right)^t=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&a\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{a-2}\begin{pmatrix}1&-1\\-2&a\end{pmatrix}$

La inversa existe para todo $a\ne2$ y es la matriz anterior.

$\textbf{(c) (0,5 puntos) Resuelve la ecuación matricial } \boldsymbol{AX+B=I}\textbf{, indicando para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ tiene solución.}$

Se despeja la incógnita matricial paso a paso, cuidando el orden de los factores, porque el producto de matrices no es conmutativo:

$AX+B=I\Rightarrow AX=I-B\Rightarrow X=A^{-1}(I-B)$

El despeje exige multiplicar por la inversa, así que la ecuación tiene solución exactamente cuando esa inversa existe, es decir, para $a\ne2$.

$I-B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\-1&-1\end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{a-2}\begin{pmatrix}1&-1\\-2&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\-1&-1\end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{a-2}\begin{pmatrix}1&1\\-a&-a\end{pmatrix}$

$\textbf{(d) (0,5 puntos) Para } \boldsymbol{a=3}\textbf{ calcula la matriz } \boldsymbol{C=A^{-1}B^tA}\textbf{.}$

Se particulariza la matriz y su inversa para ese valor del parámetro:

$A=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix},\qquad |A|=3-2=1$

$A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}$

$B^t=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$

Se multiplica de izquierda a derecha:

$A^{-1}B^t=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&4\end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&2\end{pmatrix}$

La matriz pedida es $C=\begin{pmatrix}1&0\\2&2\end{pmatrix}$.