Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2026

PROBLEMA 3. (3 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 3B) Una empresa produce un bien cuyo coste total, en miles de euros, viene dado por la función

$C(x)=x^2+10x+600$

donde $x$ es el número de unidades producidas. El precio de venta por unidad depende de la cantidad producida y viene dado por

$p(x)=100-2x$

(a) (0,5 puntos) Expresa la función de ingresos en función de $x$.
(b) (0,5 puntos) Expresa la función de beneficios en función de $x$.
(c) (0,5 puntos) Halla los valores de $x$ para los que el beneficio es positivo.
(d) (0,5 puntos) Determina el número de unidades que debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo y calcula dicho beneficio.
(e) (1 punto) Calcula $\displaystyle\int_{10}^{20}\left(C(x)+\dfrac{1}{p(x)}\right)dx$.

$\textbf{(a) (0,5 puntos) Expresa la función de ingresos en función de } \boldsymbol{x}\textbf{.}$

El ingreso es lo que se recauda al vender la producción, es decir, el número de unidades vendidas por el precio de cada una. Como el precio depende de la cantidad producida, hay que multiplicar por la función que lo da:

$I(x)=x\cdot p(x)=x\,(100-2x)$

$I(x)=100x-2x^2$

$\textbf{(b) (0,5 puntos) Expresa la función de beneficios en función de } \boldsymbol{x}\textbf{.}$

El beneficio es la diferencia entre lo que se ingresa y lo que cuesta producir:

$B(x)=I(x)-C(x)=\left(100x-2x^2\right)-\left(x^2+10x+600\right)$

$B(x)=100x-2x^2-x^2-10x-600$

$B(x)=-3x^2+90x-600$

$\textbf{(c) (0,5 puntos) Halla los valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ para los que el beneficio es positivo.}$

Se plantea la inecuación de segundo grado y se buscan primero las raíces del polinomio, que son los puntos donde el beneficio se anula:

$-3x^2+90x-600>0$

Dividiendo entre $-3$, lo que cambia el sentido de la desigualdad:

$x^2-30x+200<0$

$x=\dfrac{30\pm\sqrt{900-800}}{2}=\dfrac{30\pm10}{2}\Rightarrow x=10,\ x=20$

La parábola $x^2-30x+200$ tiene las ramas hacia arriba, así que es negativa justamente entre sus dos raíces:

$10<x<20$



El beneficio es positivo cuando se producen entre 10 y 20 unidades, sin incluir los extremos, en los que el beneficio es nulo.

$\textbf{(d) (0,5 puntos) Determina el número de unidades que debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo y calcula dicho beneficio.}$

El máximo de una función derivable se busca anulando su derivada primera:

$B'(x)=-6x+90$

$-6x+90=0\Rightarrow x=15$

Se comprueba con la derivada segunda que efectivamente se trata de un máximo:

$B''(x)=-6<0$

El beneficio correspondiente se obtiene sustituyendo en la función:

$B(15)=-3\cdot15^2+90\cdot15-600=-675+1350-600=75$

La empresa debe producir 15 unidades, con las que obtiene un beneficio máximo de 75 miles de euros, es decir, 75.000 euros.

$\textbf{(e) (1 punto) Calcula } \boldsymbol{\int_{10}^{20}\left(C(x)+\frac{1}{p(x)}\right)dx}\textbf{.}$

Se sustituyen las dos funciones y se separa la integral en dos sumandos, uno polinómico y otro de tipo logarítmico:

$\displaystyle\int_{10}^{20}\left(C(x)+\dfrac{1}{p(x)}\right)dx=\int_{10}^{20}\left(x^2+10x+600\right)dx+\int_{10}^{20}\dfrac{dx}{100-2x}$

La primera es inmediata:

$\displaystyle\int_{10}^{20}\left(x^2+10x+600\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}+5x^2+600x\right]_{10}^{20}$

$=\left(\dfrac{8000}{3}+2000+12000\right)-\left(\dfrac{1000}{3}+500+6000\right)$

$=\dfrac{7000}{3}+7500=\dfrac{29500}{3}=9833{,}33$

En la segunda, el numerador se parece a la derivada del denominador, que vale $-2$: se ajusta la constante y queda un logaritmo neperiano.

$\displaystyle\int_{10}^{20}\dfrac{dx}{100-2x}=-\dfrac12\int_{10}^{20}\dfrac{-2}{100-2x}\,dx=\left[-\dfrac12\ln|100-2x|\right]_{10}^{20}$

$=-\dfrac12\ln60+\dfrac12\ln80=\dfrac12\ln\dfrac{80}{60}=\dfrac12\ln\dfrac43=0{,}14$

Sumando los dos resultados:

$\dfrac{29500}{3}+\dfrac12\ln\dfrac43=9833{,}33+0{,}14=9833{,}47$

El valor de la integral es $\dfrac{29500}{3}+\dfrac12\ln\dfrac43\approx9833{,}47$.