Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

PROBLEMA 3. (3 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 3A) Sea la función $f(x)=x^3-3x+1$.

(a) (1 punto) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y determina sus extremos relativos, si existen.
(b) (1 punto) Estudia la concavidad de la función y determina si tiene puntos de inflexión.
(c) (1 punto) Calcula la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$.

$\textbf{(a) (1 punto) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y determina sus extremos relativos, si existen.}$

El crecimiento de una función lo marca el signo de su derivada primera, así que se empieza por calcularla y por buscar dónde se anula. La función es polinómica, luego es derivable en todo el conjunto de los números reales y no hay puntos problemáticos.

$f(x)=x^3-3x+1\Rightarrow f'(x)=3x^2-3$

$3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=-1,\ x=1$

Esos dos puntos dividen la recta real en tres intervalos. Se toma un valor de prueba en cada uno y se mira el signo de la derivada:

$f'(-2)=3\cdot4-3=9>0$

$f'(0)=3\cdot0-3=-3<0$

$f'(2)=3\cdot4-3=9>0$

Por tanto la función es creciente en $(-\infty,-1)$ y en $(1,+\infty)$, y decreciente en $(-1,1)$.

En $x=-1$ la derivada pasa de positiva a negativa, así que hay un máximo relativo; en $x=1$ pasa de negativa a positiva y hay un mínimo relativo. Sus ordenadas se calculan sustituyendo en la función:

$f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)+1=-1+3+1=3$

$f(1)=1^3-3\cdot1+1=1-3+1=-1$

La función tiene un máximo relativo en el punto $(-1,3)$ y un mínimo relativo en el punto $(1,-1)$.



$\textbf{(b) (1 punto) Estudia la concavidad de la función y determina si tiene puntos de inflexión.}$

La curvatura la decide el signo de la derivada segunda, que se calcula derivando otra vez:

$f'(x)=3x^2-3\Rightarrow f''(x)=6x$

$6x=0\Rightarrow x=0$

Se estudia el signo a un lado y a otro de ese punto:

$f''(-1)=-6<0$

$f''(1)=6>0$

En $(-\infty,0)$ la derivada segunda es negativa y la función es cóncava, es decir, curvada hacia abajo; en $(0,+\infty)$ es positiva y la función es convexa, curvada hacia arriba.

Como en $x=0$ la derivada segunda se anula y cambia de signo, ahí la curva cambia de curvatura y hay un punto de inflexión. Su ordenada es:

$f(0)=0^3-3\cdot0+1=1$

La función es cóncava en $(-\infty,0)$ y convexa en $(0,+\infty)$, y presenta un punto de inflexión en $(0,1)$.

$\textbf{(c) (1 punto) Calcula la ecuación de la recta tangente a } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=1}\textbf{.}$

La recta tangente en un punto se escribe con la ecuación punto-pendiente, tomando como pendiente el valor de la derivada en ese punto:

$y-f(1)=f'(1)\,(x-1)$

Los dos valores ya están calculados en el apartado (a):

$f(1)=-1,\qquad f'(1)=3\cdot1^2-3=0$

$y-(-1)=0\cdot(x-1)\Rightarrow y+1=0$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=1$ es la recta horizontal $y=-1$, lo que era de esperar: ese punto es el mínimo relativo de la función.