Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 1. (2 puntos)
Un pastelero está experimentando con las recetas de dos tipos de dulces que quiere comercializar. Todavía no tiene pensado el nombre, así que de momento les llama dulce tipo A y dulce tipo B. Para la receta del dulce tipo A, además de otros ingredientes, sabe seguro que va a necesitar 70 g de harina y 20 g de azúcar, mientras que para la del tipo B usará 60 g de harina y 10 g de azúcar. Ahora mismo dispone de 4200 g de harina y 800 g de azúcar, cantidades con las que quiere hacer al menos 10 dulces del tipo B y un número de dulces del tipo A, como mínimo, igual a la mitad de los de tipo B. El precio que espera poner a cada dulce de tipo A es 5 euros, y 4 euros a cada dulce de tipo B. Con todo esto quiere saber cuántos dulces de cada tipo tiene que hacer para obtener un ingreso máximo.

(a) (0,75 puntos) Define las variables del problema y formula la función objetivo y las restricciones que permiten modelar la situación descrita como un problema de programación lineal.
(b) (0,75 puntos) Representa la región de soluciones factibles.
(c) (0,5 puntos) Determina el número de dulces de tipo A y de tipo B que debe hacer para maximizar el ingreso e indica el valor de dicho ingreso máximo.

$\textbf{(a) (0,75 puntos) Define las variables del problema y formula la función objetivo y las restricciones que permiten modelar la situación descrita como un problema de programación lineal.}$

Lo que el pastelero decide es cuántos dulces hace de cada clase, así que esas dos cantidades son las variables:

$x=\text{\ número de dulces de tipo A}$

$y=\text{\ número de dulces de tipo B}$

Lo que se quiere hacer lo más grande posible es el ingreso, que se obtiene sumando lo que se cobra por cada dulce. Esa es la función objetivo:

$Z(x,y)=5x+4y$

Las restricciones traducen las limitaciones del enunciado. Las dos primeras son las de materia prima: cada dulce de tipo A gasta 70 g de harina y cada uno de tipo B, 60 g, y no puede gastarse más de la que hay; con el azúcar, 20 g y 10 g respectivamente:

$70x+60y\le4200\ \Longleftrightarrow\ 7x+6y\le420$

$20x+10y\le800\ \Longleftrightarrow\ 2x+y\le80$

Las otras dos son las condiciones que se impone el pastelero: al menos 10 dulces del tipo B, y una cantidad de dulces del tipo A que sea como mínimo la mitad de los del tipo B:

$y\ge10$

$x\ge\dfrac{y}{2}\ \Longleftrightarrow\ 2x\ge y\ \Longleftrightarrow\ y\le2x$

Como las variables cuentan dulces, además son no negativas, aunque la condición $y\ge10$ ya obliga a ello. El problema queda planteado así:

$\text{Maximizar }Z(x,y)=5x+4y$

$\text{sujeto a}\ \begin{cases}7x+6y\le420\\2x+y\le80\\y\ge10\\y\le2x\end{cases}$

$\textbf{(b) (0,75 puntos) Representa la región de soluciones factibles.}$

Cada restricción se representa dibujando la recta que se obtiene al sustituir la desigualdad por una igualdad y quedándose después con el semiplano que la cumple, lo que se comprueba con un punto cualquiera que no esté sobre la recta.

$7x+6y=420\ \text{pasa por}\ (60,0)\ \text{y}\ (0,70)$

$2x+y=80\ \text{pasa por}\ (40,0)\ \text{y}\ (0,80)$

$y=10\ \text{es horizontal};\quad y=2x\ \text{pasa por el origen}$

La región factible es la intersección de los cuatro semiplanos. Resulta ser un triángulo, porque la restricción de la harina no llega a recortarlo: queda por encima de la región y no aporta ningún lado.



Los vértices se obtienen cortando de dos en dos las rectas que sí limitan la región:

$y=10\ \text{con}\ y=2x:\quad 2x=10\Rightarrow x=5\Rightarrow (5,10)$

$y=10\ \text{con}\ 2x+y=80:\quad 2x=70\Rightarrow x=35\Rightarrow (35,10)$

$y=2x\ \text{con}\ 2x+y=80:\quad 4x=80\Rightarrow x=20\Rightarrow (20,40)$

$\textbf{(c) (0,5 puntos) Determina el número de dulces de tipo A y de tipo B que debe hacer para maximizar el ingreso e indica el valor de dicho ingreso máximo.}$

El máximo de una función objetivo lineal sobre una región factible acotada se alcanza siempre en un vértice, así que basta evaluarla en los tres:

$Z(5,10)=5\cdot5+4\cdot10=25+40=65$

$Z(35,10)=5\cdot35+4\cdot10=175+40=215$

$Z(20,40)=5\cdot20+4\cdot40=100+160=260$

El mayor de los tres valores se alcanza en el vértice $(20,40)$, que además tiene coordenadas enteras, como corresponde a un número de dulces.

El pastelero debe hacer 20 dulces de tipo A y 40 dulces de tipo B, con lo que obtiene un ingreso máximo de 260 euros.