Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

QUINTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(5B)

(a) (1 punto) Dibuja el recinto limitado por la parábola de ecuación $y=x^2-\pi^2$ y la gráfica de la función $f(x)=\cos(x/2)$.
(b) (1 punto) Calcula el área del recinto del apartado anterior, escribiendo el resultado en función del número $\pi$.

$\textbf{(a) (1 punto) Dibuja el recinto limitado por la parábola de ecuación } \boldsymbol{y=x^2-\pi^2}\textbf{ y la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)=\cos(x/2)}\textbf{.}$

Lo primero es localizar los puntos donde se cortan las dos curvas, porque son los que cierran el recinto. Se igualan sus ecuaciones:

$x^2-\pi^2=\cos\dfrac{x}{2}$

La ecuación no es algebraica, así que se buscan las soluciones por tanteo razonado: la parábola tiene sus cortes con el eje de abscisas en $x=\pm\pi$, y justo ahí el coseno también se anula, porque su argumento vale $\pm\pi/2$.

$x=\pi:\quad \pi^2-\pi^2=0\quad\text{y}\quad \cos\dfrac{\pi}{2}=0$

$x=-\pi:\quad (-\pi)^2-\pi^2=0\quad\text{y}\quad \cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0$

Las dos curvas se cortan, por tanto, en los puntos $(-\pi,0)$ y $(\pi,0)$, y no hay más cortes: fuera de ese intervalo la parábola es positiva y el coseno de $x/2$ es negativo o menor que ella.

La parábola tiene el vértice en $(0,-\pi^2)$ y las ramas hacia arriba; el coseno de $x/2$ alcanza en $x=0$ su valor máximo, que es 1. Entre $-\pi$ y $\pi$ la gráfica del coseno queda por encima de la parábola, y el recinto que encierran es el siguiente:



$\textbf{(b) (1 punto) Calcula el área del recinto del apartado anterior, escribiendo el resultado en función del número } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

El área encerrada entre dos curvas que no se cortan en el interior del intervalo es la integral definida de la diferencia entre la de arriba y la de abajo. Según el dibujo, la función de arriba es el coseno y la de abajo, la parábola:

$A=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\left[\cos\dfrac{x}{2}-\left(x^2-\pi^2\right)\right]dx$

Se separa en dos integrales para calcularlas por comodidad:

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos\dfrac{x}{2}\,dx=\left[2\operatorname{sen}\dfrac{x}{2}\right]_{-\pi}^{\pi}=2\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}-2\operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=2+2=4$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^2-\pi^2\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\pi^2x\right]_{-\pi}^{\pi}$

$=\left(\dfrac{\pi^3}{3}-\pi^3\right)-\left(-\dfrac{\pi^3}{3}+\pi^3\right)=-\dfrac{2\pi^3}{3}-\dfrac{2\pi^3}{3}=-\dfrac{4\pi^3}{3}$

Restando la segunda de la primera se obtiene el área:

$A=4-\left(-\dfrac{4\pi^3}{3}\right)=4+\dfrac{4\pi^3}{3}$

El área del recinto es $4+\dfrac{4\pi^3}{3}$ unidades cuadradas, es decir, unas $45{,}34$ unidades cuadradas.