Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

QUINTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(5A) Calcula la integral

$\displaystyle\int\dfrac{x^2-2x+3}{x^2-x-2}\,dx$

explicando los pasos realizados.

Se trata de la integral de una función racional. El primer paso obligado es comparar los grados del numerador y del denominador: aquí los dos valen 2, así que la fracción es impropia y hay que dividir antes de nada.

$\textbf{i) División de los polinomios.}$

$x^2-2x+3=(x^2-x-2)\cdot1+(-x+5)$

$\dfrac{x^2-2x+3}{x^2-x-2}=1+\dfrac{-x+5}{x^2-x-2}$

$\textbf{ii) Descomposición en fracciones simples.}$

Se factoriza el denominador resolviendo la ecuación de segundo grado:

$x^2-x-2=0\Rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm3}{2}\Rightarrow x=2,\ x=-1$

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$

Al tener dos raíces reales simples, la fracción restante se descompone en dos fracciones de denominador lineal:

$\dfrac{-x+5}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+1}$

Multiplicando por el denominador común se obtiene una identidad entre polinomios:

$-x+5=A(x+1)+B(x-2)$

Los coeficientes se calculan dando a $x$ los valores de las raíces, que anulan uno de los dos sumandos:

$x=2:\quad 3=3A\Rightarrow A=1$

$x=-1:\quad 6=-3B\Rightarrow B=-2$

$\dfrac{x^2-2x+3}{x^2-x-2}=1+\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2}{x+1}$

$\textbf{iii) Integración.}$

Ya solo quedan una integral inmediata y dos de tipo logarítmico:

$\displaystyle\int\dfrac{x^2-2x+3}{x^2-x-2}\,dx=\int1\,dx+\int\dfrac{1}{x-2}\,dx-2\int\dfrac{1}{x+1}\,dx$

$=x+\ln|x-2|-2\ln|x+1|+C$

Agrupando los dos logaritmos mediante sus propiedades, el resultado se puede escribir también así:

$x+\ln\dfrac{|x-2|}{(x+1)^2}+C$

La integral pedida vale $x+\ln|x-2|-2\ln|x+1|+C$, con $C$ constante de integración.