Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

CUARTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(4B) Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P(1,7,4)$ y cuyo vector director es $\vec v=(6,3,-5)$ y sea $\pi\equiv 2x+y-3z=-13$.

(a) (1 punto) Calcula el punto de corte de la recta $r$ con el plano $\pi$.
(b) (1 punto) Calcula el ángulo mínimo formado por la recta $r$ y el plano $\pi$.

$\textbf{(a) (1 punto) Calcula el punto de corte de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ con el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

Un punto que esté a la vez en la recta y en el plano tiene que cumplir las ecuaciones de ambos. Se escribe primero la recta en paramétricas a partir del punto y del vector director que da el enunciado:

$r\equiv\begin{cases}x=1+6t\\y=7+3t\\z=4-5t\end{cases},\ t\in\mathbb{R}$

Sustituyendo esas coordenadas en la ecuación del plano queda una ecuación con una sola incógnita, el parámetro:

$2(1+6t)+(7+3t)-3(4-5t)=-13$

$2+12t+7+3t-12+15t=-13$

$-3+30t=-13\Rightarrow 30t=-10\Rightarrow t=-\dfrac13$

Se lleva ese valor del parámetro a las ecuaciones de la recta:

$x=1+6\cdot\left(-\dfrac13\right)=1-2=-1$

$y=7+3\cdot\left(-\dfrac13\right)=7-1=6$

$z=4-5\cdot\left(-\dfrac13\right)=4+\dfrac53=\dfrac{17}{3}$

Se comprueba que el punto obtenido pertenece al plano:

$2\cdot(-1)+6-3\cdot\dfrac{17}{3}=-2+6-17=-13$

La recta corta al plano en el punto $Q\left(-1,\,6,\,\dfrac{17}{3}\right)$.

$\textbf{(b) (1 punto) Calcula el ángulo mínimo formado por la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

El ángulo que forman una recta y un plano es el que forma la recta con su proyección ortogonal sobre el plano, y es el menor de todos los que forma con las rectas del plano. Ese ángulo $\alpha$ es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, de modo que lo que en aquel es coseno, en este es seno:

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\cdot|\vec n|}$

Se toman el vector director de la recta y el normal del plano, que son los coeficientes de su ecuación general:

$\vec v=(6,3,-5),\qquad \vec n=(2,1,-3)$

$\vec v\cdot\vec n=6\cdot2+3\cdot1+(-5)\cdot(-3)=12+3+15=30$

$|\vec v|=\sqrt{6^2+3^2+(-5)^2}=\sqrt{36+9+25}=\sqrt{70}$

$|\vec n|=\sqrt{2^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{30}{\sqrt{70}\cdot\sqrt{14}}=\dfrac{30}{\sqrt{980}}=\dfrac{30}{14\sqrt5}=\dfrac{15}{7\sqrt5}=\dfrac{3\sqrt5}{7}$

$\operatorname{sen}\alpha=0{,}9583$

$\alpha=\operatorname{arcsen}(0{,}9583)=73{,}40^{\circ}$



El ángulo mínimo que forman la recta y el plano es $\alpha\approx73{,}40^{\circ}$, es decir, unos $73^{\circ}\,24'$.