Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

SEGUNDO EJERCICIO (2 puntos).
Sea $f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$.

(a) (1,5 puntos) Encuentra los valores de $A$, $B$ y $C$ para que la tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=0$ sea la recta $y=3-3x$ y $f$ tenga un extremo relativo en $x=1$.
(b) (0,5 puntos) El extremo relativo de $f$ en el punto $x=1$, ¿es un máximo o un mínimo?

$\textbf{(a) (1,5 puntos) Encuentra los valores de } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ para que la tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=0}\textbf{ sea la recta } \boldsymbol{y=3-3x}\textbf{ y } \boldsymbol{f}\textbf{ tenga un extremo relativo en } \boldsymbol{x=1}\textbf{.}$

Hay tres parámetros que determinar, así que hacen falta tres condiciones. El enunciado las da: dos las aporta la recta tangente (pasa por el punto de la gráfica y tiene su misma pendiente) y la tercera, el extremo relativo.

Se empieza por calcular la derivada, que es la que traduce las condiciones sobre pendientes y extremos.

$f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$

$f'(x)=3x^2+2Ax+B$

i) La recta $y=3-3x$ es tangente en $x=0$, luego la gráfica y la recta pasan por el mismo punto de abscisa $x=0$. Sustituyendo en la recta se obtiene la ordenada de ese punto:

$y(0)=3-3\cdot0=3\Rightarrow f(0)=3$

$f(0)=0^3+A\cdot0^2+B\cdot0+C=C\Rightarrow C=3$

ii) Ser tangente significa además compartir la pendiente, y la pendiente de la recta es el coeficiente de $x$:

$f'(0)=-3$

$f'(0)=3\cdot0^2+2A\cdot0+B=B\Rightarrow B=-3$

iii) Que $f$ tenga un extremo relativo en $x=1$ obliga a que la derivada se anule en ese punto:

$f'(1)=0$

$3\cdot1^2+2A\cdot1+B=0\Rightarrow 3+2A-3=0\Rightarrow 2A=0$

$A=0$

Los valores buscados son $A=0$, $B=-3$ y $C=3$, de modo que la función es $f(x)=x^3-3x+3$.



$\textbf{(b) (0,5 puntos) El extremo relativo de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{x=1}\textbf{, ¿es un máximo o un mínimo?}$

Para clasificar un extremo relativo en el que la derivada primera se anula se recurre al signo de la derivada segunda: si es positiva la curva es convexa y el extremo es un mínimo, y si es negativa es cóncava y se trata de un máximo.

$f(x)=x^3-3x+3\Rightarrow f'(x)=3x^2-3\Rightarrow f''(x)=6x$

$f''(1)=6\cdot1=6>0$

Como la derivada segunda es positiva, el extremo es un mínimo relativo. Su ordenada se obtiene sustituyendo en la función:

$f(1)=1^3-3\cdot1+3=1$

La función presenta en $x=1$ un mínimo relativo, que es el punto $(1,1)$.