Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

PRIMER EJERCICIO (2 puntos).
Una central lechera recoge leche de tres productores locales, A, B y C. El productor A lleva su leche en recipientes de 10 litros y se le paga a 5 € por cada recipiente. La productora B utiliza recipientes de 15 litros y recibe 9 € por cada recipiente. Por último, la productora C aporta recipientes de 12 litros y se le paga a 4 € por cada uno. En la última semana, se han recogido un total de 612 litros de leche, en 48 recipientes y se debe pagar en total 304 €, a repartir entre los tres ganaderos.

(a) (1 punto) Plantea el sistema de ecuaciones que modeliza la situación descrita.
(b) (1 punto) ¿Cuánto se debe pagar a cada productor por la leche que ha llevado a la central la última semana?

$\textbf{(a) (1 punto) Plantea el sistema de ecuaciones que modeliza la situación descrita.}$

Lo que no se conoce es cuántos recipientes ha llevado cada productor a la central, así que esas tres cantidades son las incógnitas:

$x=\text{\ recipientes de 10 L que lleva A}$

$y=\text{\ recipientes de 15 L que lleva B}$

$z=\text{\ recipientes de 12 L que lleva C}$

El enunciado da tres datos globales de la semana y cada uno se traduce en una ecuación lineal.

i) En total se han recogido 48 recipientes:

$x+y+z=48$

ii) La leche recogida suma 612 litros, y cada recipiente aporta su capacidad:

$10x+15y+12z=612$

iii) El pago total asciende a 304 euros, a razón de 5, 9 y 4 euros por recipiente:

$5x+9y+4z=304$

El sistema que modeliza la situación es, por tanto, el siguiente:

$\begin{cases}x+y+z=48\\10x+15y+12z=612\\5x+9y+4z=304\end{cases}$

$\textbf{(b) (1 punto) ¿Cuánto se debe pagar a cada productor por la leche que ha llevado a la central la última semana?}$

Para saber lo que cobra cada productor hay que resolver primero el sistema, porque el pago de cada uno es el número de recipientes que ha llevado por su precio unitario.

Se despeja la incógnita más cómoda de la primera ecuación y se sustituye en las otras dos, con lo que el sistema queda reducido a dos ecuaciones con dos incógnitas.

$z=48-x-y$

$10x+15y+12(48-x-y)=612\Rightarrow 10x+15y+576-12x-12y=612$

$-2x+3y=36$

$5x+9y+4(48-x-y)=304\Rightarrow 5x+9y+192-4x-4y=304$

$x+5y=112$

De la última igualdad se despeja $x$ y se lleva a la anterior:

$x=112-5y$

$-2(112-5y)+3y=36\Rightarrow -224+10y+3y=36\Rightarrow 13y=260$

$y=20$

Deshaciendo los cambios se obtienen las otras dos incógnitas:

$x=112-5\cdot20=112-100=12$

$z=48-12-20=16$

Se comprueba que la solución cumple las tres condiciones del enunciado:

$12+20+16=48\ \text{recipientes}$

$10\cdot12+15\cdot20+12\cdot16=120+300+192=612\ \text{litros}$

Por último se multiplica el número de recipientes de cada productor por lo que se le paga por cada uno:

$\text{A}:\ 12\cdot5=60\ \text{euros}$

$\text{B}:\ 20\cdot9=180\ \text{euros}$

$\text{C}:\ 16\cdot4=64\ \text{euros}$

La suma es $60+180+64=304$ euros, que coincide con el pago total del enunciado.

A la central le corresponde pagar 60 euros al productor A, 180 euros a la productora B y 64 euros a la productora C.