Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2026

Bloque 2: Campo electromagnético [3 puntos]

Opción 2-A.

a) [1,5p] Enuncie el teorema de Gauss en electrostática (no es necesario demostrarlo) y aplíquelo razonadamente para explicar por qué el campo eléctrico en cualquier punto del exterior de una esfera maciza con carga total $Q$ uniformemente distribuida es igual al creado por una carga puntual de igual valor $Q$ situada en su centro.

b) [1,5p] Una espira cuadrada de lado 20 cm está situada en el plano XY en presencia de un campo magnético uniforme dirigido en el sentido positivo del eje Z, cuyo módulo varía con el tiempo $t$ según $B(t)=3t^{3}+2$, donde $B$ está dado en teslas y $t$ en segundos. Calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo y represente con un dibujo el sentido de la corriente inducida para $t>0$, justificando brevemente su respuesta.

$\textbf{a) Enuncie el teorema de Gauss en electrostática y aplíquelo para explicar por qué el campo eléctrico en el exterior de una esfera maciza con carga }\boldsymbol{Q}\textbf{ uniformemente distribuida es igual al de una carga puntual }\boldsymbol{Q}\textbf{ situada en su centro. (1,5 puntos)}$

El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada dividida por la permitividad del medio, y no depende de cómo esté repartida esa carga ni de la forma de la superficie.

$\Phi=\oint \vec E\cdot d\vec S=\dfrac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$

Para aplicarlo se elige una superficie gaussiana que aproveche la simetría del problema. La distribución es esférica y uniforme, luego el campo solo puede depender de la distancia al centro y ser radial: se toma como superficie una esfera concéntrica de radio $r$ mayor que el de la esfera cargada.

Sobre esa superficie el campo tiene módulo constante y es paralelo al vector superficie en todos sus puntos, de modo que el flujo se calcula sin integrar.

$\Phi=E\cdot 4\pi r^{2}$

La carga encerrada es toda la carga de la esfera, $Q$, porque la superficie gaussiana la contiene entera.

$E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0} \Rightarrow E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^{2}}$

El resultado es exactamente el campo de una carga puntual $Q$ situada en el centro: desde fuera, una distribución esférica y uniforme se comporta como si toda su carga estuviera concentrada en él. La razón de fondo es que el teorema solo distingue la carga encerrada, y la simetría esférica obliga a que el campo sea el mismo en todos los puntos de la esfera gaussiana.

$\textbf{b) Calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo y represente con un dibujo el sentido de la corriente inducida para }\boldsymbol{t>0}\textbf{, justificando brevemente su respuesta. (1,5 puntos)}$

La espira está en el plano XY y el campo es perpendicular a ella, así que el flujo es el producto del campo por el área.

$S=(0{,}20)^{2}=0{,}04\ \text{m}^{2}$

$\Phi(t)=B(t)\cdot S=(3t^{3}+2)\cdot 0{,}04=0{,}12\,t^{3}+0{,}08\ \text{(Wb)}$

Por la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo cambiada de signo.

$\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}=-0{,}36\,t^{2}\ \text{(V)}$

Por ejemplo, en $t=1\ \text{s}$ la fuerza electromotriz vale $-0{,}36\ \text{V}$ y en $t=2\ \text{s}$, $-1{,}44\ \text{V}$: crece en valor absoluto con el cuadrado del tiempo.



El signo negativo es la ley de Lenz. Para $t>0$ el campo aumenta en el sentido positivo del eje Z, luego el flujo saliente crece; la corriente inducida circula en el sentido que crea dentro de la espira un campo opuesto, es decir, hacia el eje Z negativo. Por la regla de la mano derecha, eso corresponde a recorrer la espira en sentido horario vista desde el eje Z positivo.