Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Bloque 1: Campo gravitatorio [2 puntos]

El programa Artemis de la NASA tiene como principal objetivo llevar de nuevo seres humanos a la Luna tras más de cincuenta años. En estas misiones, la nave Orion transporta a la tripulación desde la Tierra hasta la órbita lunar, mientras que el módulo lunar HLS (Human Landing System), de masa ${10}^5\text{ kg}$, realiza el descenso y posterior ascenso desde la superficie de la Luna.

a) [1p] Calcule el módulo del campo gravitatorio resultante en el punto medio de la línea que une los centros de la Tierra y la Luna. Indique también su sentido.

b) [1p] Tras alunizar, el módulo HLS despega desde la superficie lunar y se coloca en una órbita circular estable a una altura $h=100\text{ km}$ sobre la superficie lunar, donde se reencuentra con la nave Orion. Suponiendo que solo actúa el campo gravitatorio lunar, calcule el cambio de energía mecánica del módulo entre la superficie lunar y dicha órbita.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$, masa de la Luna $=\mathrm{7,35}\times {10}^{22}\text{ kg}$, masa de la Tierra $=\mathrm{5,97}\times {10}^{24}\text{ kg}$, radio de la Luna $=1740\text{ km}$, distancia Tierra-Luna $=\mathrm{3,8}\times {10}^5\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{resultante}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nea}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{une}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{centros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{sentido.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El campo gravitatorio es una magnitud vectorial y cumple el principio de superposición: el campo en el punto medio es la suma de los que crean allí la Tierra y la Luna. Los dos apuntan hacia su respectiva masa, de modo que son opuestos y el módulo resultante es la diferencia.



Los dos campos se calculan a la misma distancia, la mitad de la separación entre los centros.

$r={\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,8}\cdot {10}^8}{2}}=\mathrm{1,9}\cdot {10}^8\text{ m}$

$g_T={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{1,9}\cdot {10}^8{)}^2}}=\mathrm{1,103}\cdot {10}^{-2}{\text{m/s}}^2$

$g_L={\displaystyle \frac{G{M}_L}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}}{(\mathrm{1,9}\cdot {10}^8{)}^2}}=\mathrm{1,358}\cdot {10}^{-4}{\text{m/s}}^2$

$g=g_T-g_L=\mathrm{1,103}\cdot {10}^{-2}-\mathrm{1,358}\cdot {10}^{-4}=\mathrm{1,09}\cdot {10}^{-2}{\text{m/s}}^2$

El campo resultante vale $\mathrm{1,09}\cdot {10}^{-2}{\text{m/s}}^2$ y está dirigido hacia la Tierra, porque su masa es unas ochenta veces mayor que la de la Luna y, a igual distancia, su campo es ochenta y una veces más intenso.



En la superficie el módulo está en reposo, así que su energía mecánica es solo potencial.

$E_1=-{\displaystyle \frac{G{M}_{L}m}{R_L}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}\cdot {10}^5}{\mathrm{1,74}\cdot {10}^6}}$

$E_1=-\mathrm{2,82}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, y de ahí sale la relación entre la energía cinética y la potencial que reduce la mecánica a la mitad de la potencial.

${\displaystyle \frac{G{M}_{L}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_{L}m}{2r}}$

$E_2=E_c+E_p={\displaystyle \frac{G{M}_{L}m}{2r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{L}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{L}m}{2r}}$

El radio de la órbita se mide desde el centro de la Luna, así que hay que sumar el radio lunar a la altura.

$r=R_L+h=\mathrm{1,74}\cdot {10}^6+{10}^5=\mathrm{1,84}\cdot {10}^6\text{ m}$

$E_2=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}\cdot {10}^5}{2\cdot \mathrm{1,84}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{1,33}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

$\mathrm{\Delta }E=E_2-E_1=-\mathrm{1,33}\cdot {10}^{11}+\mathrm{2,82}\cdot {10}^{11}=\mathrm{1,49}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

La energía mecánica del módulo aumenta en $\mathrm{1,49}\cdot {10}^{11}\text{ J}$, que es la energía que tienen que aportar sus motores para pasar de la superficie a la órbita.